Matemática, perguntado por Atoa009, 11 meses atrás

Matriz inversa

(2 3)
(-1 0)

Soluções para a tarefa

Respondido por JulioPlech
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Resposta:

Primeiramente, precisamos verificar se há matriz inversa para a matriz dada. Calcularemos seu determinante. Caso o resultado seja igual a zero, a matriz não admite uma inversa.

Det(A) = \begin{vmatrix}</p><p>  2 &amp; 3 \\  - 1 &amp; 0</p><p>\end{vmatrix} = 2.0 - 3.( - 1) = 0 + 3 = 3

Como o determinante tem um resultado diferente de zero, isso quer dizer que a matriz dada tem uma matriz inversa.

Calculamos a matriz inversa através de:

A. {A}^{ - 1}  = I_2

Onde:

A = Matriz dada;

A^{-1}= Matriz inversa, onde indicaremos por: \begin{bmatrix}</p><p>  a &amp; b \\ c &amp; d</p><p>\end{bmatrix}

I_2 = Matriz identidade de ordem 2: \begin{bmatrix}</p><p>  1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1</p><p>\end{bmatrix}

Dessa forma, teremos:

\begin{bmatrix}</p><p>  2 &amp; 3 \\  - 1 &amp; 0</p><p>\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}</p><p>  a &amp; b \\ c &amp; d</p><p>\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}</p><p>  1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1</p><p>\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}</p><p>  2a + 3c &amp; 2b + 3d \\  - a &amp;  - b</p><p>\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}</p><p>  1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1</p><p>\end{bmatrix}

Igualando os elementos da segunda linha entre as duas matrizes, temos:

 - a = 0 \\ a = 0 \\ e \\  - b = 1 \\ b =  - 1

Com os valores de a e b conhecidos, podemos, agora, substitui-los nos elementos da primeira linha e fazer a igualdade com a identidade.

2.0 + 3c = 1 \\ 0 + 3c = 1 \\ 3c = 1 \\ c =  \frac{1}{3}

Finalmente encontraremos o valor de d:

2.( - 1) + 3d = 0 \\  - 2 + 3d = 0 \\ 3d = 2 \\ d =  \frac{2}{3}

Com os quatro valores conhecidos, agora podemos montar a inversa de A:

 {A}^{ - 1}  = \begin{bmatrix}</p><p>  0 &amp;  - 1 \\  \frac{1}{3} &amp;  \frac{2}{3}</p><p>\end{bmatrix}

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