Question

Matéria de ensino superior (cálculo)

X" +x= 3t^2 + t

Answer 1

$x''+x=3t^2+t$


Equação diferencial ordinária de 2ª ordem, linear, não-homogênea e a coeficientes constantes.

________

Encontrando a solução da EDO homogênea associada:

$x''+x=0$


Resolvendo a equação característica:

$\lambda^2+1=0\\\\ \lambda^2=-1\\\\ \lambda=\pm i$


As raízes da equação característica são complexos conjugados:

$\lambda=\alpha\pm \beta i$

onde $\alpha=0$ e $\beta=1.$


Base geradora da solução da EDO homogênea:

$\left\{e^{\alpha t}\cos (\beta t),\,e^{\alpha t}\mathrm{sen}(\beta t)\right\}\\\\ \left\{e^{0 t}\cos t,\,e^{0 t}\mathrm{sen\,}t\right\}\\\\ \left\{\cos t,\,\mathrm{sen\,}t\right\}$


Solução da EDO homogênea:

$x_h(t)=C_1\cos t+C_2\,\mathrm{sen\,}t$

___________

Solução particular para a EDO não-homogênea dada inicialmente:

(método dos coeficientes a determinar)

$x_p(t)=At^2+Bt+C$


Derivando em relação a $t,$

$x_p'=2At+B$


Derivando novamente em relação a $t,$

$x_p''=2A$


Substituindo a solução particular na EDO não-homogênea, temos

$x_p''+x_p=3t^2+t\\\\ 2A+(At^2+Bt+C)=3t^2+t\\\\ At^2+Bt+2A+C=3t^2+t$


Por identidade polinomial, devemos ter

$\left\{ \!\begin{array}{l} A=3\\ B=1\\ 2A+C=0~~\Rightarrow~~C=-6 \end{array} \right.$


Solução particular:

$x_p(t)=3t^2+t-6$


___________

Portanto, a solução geral da EDO dada inicialmente é

$x(t)=x_h(t)+x_p(t)\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x(t)=C_1 \cos t+C_2\,\mathrm{sen\,}t+3t^2+t-6 \end{array}}$


com $C_1,\,C_2\in\mathbb{R}.$


Bons estudos! :-)