Question

MATÉRIA DE CÁLCULO 1, AJUDAAAAAAAAA!!!!!!!!!!!!!! Seja R a região limitada pelos gráficos das curvas y=405 e y=x^2. Considere a reta y=b que divide a região R em duas regiões, a superior e a inferior. Sabe-se que a razão entre a área da região R e a área da região inferior é igual à raiz de {729}. O valor de b é: 35 45 55 40 ou 50????

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$\begin{cases}y = 405, \: \\ y = x {}^{2} , \\ y = b \end{cases} \: \: e \: \: \frac{A_{regi\tilde{a}o}}{A_{regi\tilde{a}o\:inferior}}=\sqrt{729}$

Primeiro devemos calcular a área da região R, para iniciar vamos calcular os pontos de interseçao da função y = 405 e a função y = x², para isso basta substituir o valor da função constante na função quadrática:

$y = 405 \: \: e \: \: y = x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\\Longleftrightarrow405 = x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\\Longleftrightarrow x = \pm9 \sqrt{5} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Portanto esses são os limites de integração. Para a função que caracteriza a área, basta utilizarmos aquela velha integral:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: A = \int\limits_{a}^{b}f(x)dx \: \: \bullet$

A função f(x) é dada pela subtração da função superior pela inferior, observando as duas em um gráfico é possível observar que y = 405 é a função superior e a função y = x² é a inferior, então, temos que:

$A = \int\limits_{ - 9 \sqrt{5} }^{9 \sqrt{5} }405 - x {}^{2} dx \\ \\ A = \int\limits_{ - 9 \sqrt{5} }^{9 \sqrt{5} }405dx -\int\limits_{ - 9 \sqrt{5} }^{9 \sqrt{5} }x {}^{2} dx \\ \\ A = \left[405x - \frac{ x {}^{3}}{3} \right ] \bigg | _{ - 9 \sqrt{5} }^{9 \sqrt{5} } \: \: \: \: \: \: \:$

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

$A = 405.(9 \sqrt{5} ) - \frac{(9 \sqrt{5}) {}^{3} }{3} - \left(405.( - 9 \sqrt{5} ) + \frac{( - 9 \sqrt{5}) {}^{3} }{3} \right) \\ A = 4860 \sqrt{5}$

Essa é a área da região R. A partir desse dado podemos descobrir o valor da região inferior usando aquela relação informada no enunciado:

$\frac{A_{regi\tilde{a}o}}{A_{regi\tilde{a}o\:inferior}}=\sqrt{729} \\ \\ \frac{4860 \sqrt{5} }{A_{regi\tilde{a}o\:inferior}} = 27 \: \: \: \: \\ \\ \: \: A_{regi\tilde{a}o\:inferior} = \frac{4860 \sqrt{5} }{27} \\ \\ A_{regi\tilde{a}o\:inferior} = 180 \sqrt{5}$

Outra informação dada no enunciado, é que a função y = b divide as regiões em superior e inferior, então podemos dizer que a função y = b subtraída da função y = x² gera a área da função inferior, então a integral seria:

$A_{regi\tilde{a}o\:inferior} = \int\limits_{a}^{b}b - x {}^{2} dx$

Na outra integral, dissemos que os pontos de interseçao são basicamente uma função igualada a outra, nesse caso vai ser a mesma coisa, então devemos igualar a função y = b à função y = x²:

$y = b \: \: e \: \: y = x { }^{2} \\\Longleftrightarrow b = x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \\\Longleftrightarrow x = \pm \sqrt{b} \: \:$

Logo os limites de integração são esses calculados acima. Substituindo na integral:

$A_{regi\tilde{a}o\:inferior} = \int\limits_{ - \sqrt{b} }^{ \sqrt{b} }b - x {}^{2} dx \\ \\ 180 \sqrt{5} = \int\limits_{ - \sqrt{b} }^{ \sqrt{b} }b - x {}^{2} dx \\ \\ 180 \sqrt{5} = \left[bx - \frac{x {}^{3} }{3} \right] \bigg|_{ - \sqrt{b} }^{ \sqrt{b} } \\ \\ 180 \sqrt{5} = b. \sqrt{b} - \frac{( \sqrt{b} ) {}^{3} }{3} - \left( b. ( - \sqrt{b}) - \frac{( - \sqrt{b}) {}^{3} }{3} \right) \\ \\ 180 \sqrt{5} = b {}^{ \frac{3}{2} } - \frac{b {}^{ \frac{3}{2} } }{3} + b {}^{ \frac{3}{2} } - \frac{b {}^{ \frac{3}{2} } }{3} \\ \\ 180 \sqrt{5} = 2b {}^{ \frac{3}{2} } - \frac{2b {}^{ \frac{3}{2} } }{3} \\ \\ 180 \sqrt{5} = \frac{3.2b {}^{ \frac{3}{2} } - 2b {}^{ \frac{3}{2} } }{3} \\ \\ 180.3 \sqrt{5} = 4b {}^{ \frac{3}{2} } \\ \\ \frac{180.3 \sqrt{5} }{4} = b {}^{ \frac{3}{2} } \\ \\ 135 \sqrt{5} = b {}^{ \frac{3}{2} } \\ \\ b = (135 \sqrt{5} ) {}^{ \frac{2}{3} } \\ \\ b = 135 {}^{ \frac{2}{3} } .( \sqrt{5} ) {}^{ \frac{2}{3} } \\ \\ b = 135 {}^{ \frac{2}{3} } .(5 {}^{ \frac{1}{2} } ) {}^{ \frac{2}{3} } \\ \\ b = \sqrt[3]{135 {}^{2} } . \sqrt[3]{5} \\ \\ b = \sqrt[3]{18225 \: . \: 5} \\ \\ b = \sqrt[3]{91125} \\ \\ \boxed{ b = 45}$

Espero ter ajudado