Question

Matematicamente falando, um conjunto nada mais é do que uma coleção que envolve elementos e surge diretamente dos conceitos primitivos de elemento, conjunto e igualdade entre conjuntos. Especificamente falando, a relação entre elemento e conjunto é chamada relação de pertinência, enquanto que o número de elementos de um conjunto caracteriza a sua cardinalidade. Neste sentido, qual é a cardinalidade do conjunto numérico A = {x ∈ ℕ / 10. √2 < x < 10. √3 }?

Escolha uma:
a. Zero
b. 2
c. 4
d. 3
e. 1

Answer 1

Dado o conjunto A definido por

$A=\{x\in\mathbb{N}:10\sqrt{2}<x<10\sqrt{3}\}$

Um dos problemas de mexer com A é que ele está definido nos Naturais, mas seu limite na definição são números irracionais, assim, devemos encontrar um conjunto igual a A, mas que esteja definido ao redor de naturais, podemos fazer isso definindo B tal que:

$B=\{\sqrt{x}\in\mathbb{N}:200<x<300\}$

Perceba que B=A, a única diferença é que, em A definimos os elementos entre valores com raízes, já em B definimos o quadrado dos elementos entre números naturais, o que faz com que retornemos aos elementos de A e portanto podemos afirmar B = A, mas B é mais fácil de manipular que A.

Deste modo, temos de achar os valores de raiz de x para x entre 200 e 300, que é a mesma coisa que encontrar os quadrados perfeitos entre 200 e 300:

$\sqrt{x}\in\mathbb{N}\iff x\: quadrado\: perfeito$

E portanto definimos melhor ainda B:

$B=\{\sqrt{x}\in\mathbb{N}:200<x<300, \: x\: quadrado\:perfeito\}$

Vejamos os quadrados perfeitos nos limites acima:

14²=196

15²=225

16²=256

17²=289

18²=324

Portanto,

$B=\{\sqrt{225},\sqrt{256},\sqrt{289}\}$

E portanto,

$A=B=\{15,16,17\}$

E sua cardinalidade, portanto, deve ser 3 pelo fato de A possuir 3 elementos.

Alternativa d)