Question

MATEMATICA!! URGENTEEEE
Sabe-se que A(1,2) e B(2,1). A distância do centro do quadrado ABCD a origem é:

a) 0 ou 1 
b) 1 ou  2
c)Raiz de dois dividido por 2 ou 2
e)$\sqrt{2}$ ou 2
d)$\sqrt{2}$ ou $2 \sqrt{2}$

Answer 1

Perceba que dá para formar dois quadrados a partir desses dados.

Primeiro, vamos achar a distância entre esses dois pontos para achar o lado desse quadrado:

Segue a fórmula para distância entre dois pontos:

$d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$

Repare que essa fórmula sai a partir de uma aplicação do teorema de Pitágoras no gráfico.

$d^2=(1-2)^2+(2-1)^2$

$d^2=(-1)^2+1^2$

$d^2=1+1$

$d=\sqrt2$

O lado desse quadrado mede $\sqrt2$ , mas por enquanto vamos deixar esse valor guardado.

Já deve ter notado que esse quadrado está "torto" no gráfico, então não vai ser tão facil determinar os vértices e o centro desse quadrado.

Continuando, será preciso achar o coeficiente angular do segmento AB a partir da seguinte fórmula:

$a=\frac{Δy}{Δx}$

Δy e Δx são as variações entre y1 e y2, e x1 e x2, respectivamente.

$a=\frac{2-1}{1-2}$

$a=-1$

Tendo conhecimento do coeficiente angular do segmento AB, vamos calcular o coeficiente da reta perpendicular à ela:

$a_{AB}=\frac{1}{-a_s}$

$-1=\frac{1}{-a_s}$

$a_s=1$

Então, o coeficiente angular da nova reta é 1, sendo que é essa a reta que vai passar exatamente pelo ponto central do quadrado. Mas antes de saber as coordenadas desse ponto, será preciso saber a lei dessa reta.
Para isso jogaremos um ponto contido nessa reta na equação $y=ax+b$.
Repare que para essa reta poder passar pelo ponto central do quadrado, ela obrigatoriamente deverá passar pelo ponto médio do segmento AB.

Agora vamos calcular o ponto médio de AB, e para isso só é necessário fazer a média entre as coordenadas:

$x_m=\frac{1+2}{2}\Rightarrow\frac{3}{2}$

$y_m=\frac{2+1}{2}\Rightarrow\frac{3}{2}$

Então, as coordenadas do ponto médio de AB é M (3/2, 3/2).

Agora jogamos as coordenadas desse ponto na equação da reta, já tendo conhecimento do coeficiente angular dela:

$y=ax+b$

$\frac{3}{2}=1\cdot\frac{3}{2}+b$

$\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=b$

$b=0$

Finalmente, a lei da reta é $y=x$

Agora vamos calcular o centro de um dos quadrados (repare que é possível montar dois quadrados a partir dos dados da questão).

Perceba que a distância de qualquer lado do quadrado até o centro é metade da medida do lado do quadrado. Já sabemos a medida do lado do quadrado, e sabe-se também que em relação às coordenadas do centro desse quadrado, o valor das abcissas (eixo x) é igual ao valor das ordenadas (eixo y), que foi definido pela lei da reta que passa pelo centro.

Então, fazendo a distância entre ponto e reta, já sabendo a distância (metade do lado):

Equação geral da reta AB:
$y=ax+b$

Já sabemos o valor de a (-1), logo, inserimos os valores das coordenadas do ponto A (pode ser de B também):

$2=-1\cdot1+b$

$b=2+1$

$b=3$

Agora vamos colocar na forma de equação geral a reta AB:

$y=-x+3$

$x+y-3$

Agora fazendo a distância entre ponto e reta, sabendo da relação entre x e y das coordenadas do centro do quadrado (x = y):

$d=\frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Sendo lado $\sqrt2$, sua metade é $\frac{\sqrt2}{2}$. Os valores de A, B e C da equação geral de AB são 1, 1 e -3, respectivamente.

$\frac{\sqrt2}{2}=\frac{1\cdot x+1\cdot y-3}{\sqrt{1^2+1^2}}$

Substuindo y por x:

$\frac{\sqrt2}{2}=\frac{x+x-3}{\sqrt2}$

Lembre que na fórmula da distância entre ponto e reta há um módulo, por isso ao invés de montarmos apenas uma equação, teremos de montar duas: uma com a equação da mesma forma, apenas "tirando as barrinhas do módulo" e a outra vamos tirar essas barras e multiplicar por -1.
Faremos uma delas, depois a outra:

$\frac{\sqrt2}{2}\cdot\sqrt2=2x-3$

$\frac{2}{2}=2x-3$

$1+3=2x$

$2x=4$

$x=2$

Se x=2, então y=2. Logo, as coordenadas do centro de um dos quadrados é (2,2).

Agora à próxima equação:

$\frac{\sqrt2}{2}=-\frac{x+x-3}{\sqrt2}$

$\frac{\sqrt2}{2}\cdot\sqrt2=-2x+3$

$1=-2x+3$

$2x=2$

$x=1$

Se x=1, então y=1, logo, as coordenadas do centro do segundo quadrado são (1, 1).

Agora fazendo a distância entre pontos, calculando a distância do centro (2, 2) à origem (0, 0):

Repare que quando a distância do ponto for em relação à origem, não é necessário fazer a subtração dos pontos na fórmula.

$d^2=2^2+2^2$

$d^2=8$

$d=2\sqrt2$

Agora a distância do segundo centro:

$d^2=1^2+1^2$

$d=\sqrt2$

A alternativa correta é a letra D (a última alternativa)

Answer 2

A distância do centro do quadrado a origem é √2 ou 2√2, alternativa D.

Distância entre pontos

• Os pontos são dados por coordenadas na forma (x, y);

• A distância entre dois pontos pode ser calculada pela fórmula d² = (xB - xA)² + (yB - yA)².

Sabe-se que um dos lados do quadrado é AB, cuja medida é:

AB² = (2 - 1)² + (1 - 2)²

AB² = 2

AB = √2

Logo, o centro desse quadrado será o terceiro vértice do triângulo isósceles AEB, onde AE = EB, então, seja E(x, y):

AE² = EB²

(x - 1)² + (y - 2)² = (2 - x)² + (1 - y)²

x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 4 - 4·x + x² + 1 - 2y + y²

(x² - 2x + 1) + (y² - 4y + 4) = (x² - 4x + 4) + (y² - 2y + 1)

2x - 3 = 2y - 3

2x = 2y

x = y

Logo, sabemos que o centro desse quadrado está na reta y = x. Desta forma, a distância a origem é:

d(O,E)² = (x - 0)² + (y - 0)²

d(O, E) = x² + y²

Como x = y:

d(O, E)² = 2x²

d(O, E) = x√2

Para x = 1 e x = 2, temos as distâncias √2 e 2√2.

Leia mais sobre distância entre pontos em:

https://brainly.com.br/tarefa/27124830

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