Question

Matemática Univesp Semana 6

PERGUNTA 1

Assinale a alternativa que corresponde à integral definida abaixo: (em anexo)

Answer 1

Olá.

Uma técnica simples é fazermos a integração indefinida, depois inserirmos os limites de integração para a integral definida.

$\int{\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}} }} \, dx =$

$u=1-x^2$ ,    $\frac{du}{dx} =-2x$ ,   $\frac{du}{-2} =xdx$

$=\int\limits{\frac{1}{-2\sqrt{u} } \ du$

$=-\frac{1}{2} \int\limits{\frac{1}{\sqrt{u} } \ du$

$=-\frac{1}{2} \int\limits{\frac{1}{u^\frac{1}{2} } \ du$

$=-\frac{1}{2} \int{{u^{-\frac{1}{2} } } \ du$

$=-\frac{1}{2} *\frac{u^{-\frac{1}{2}+1} }{-\frac{1}{2}+1 }$

$=-\frac{1}{2} *\frac{u^{\frac{1}{2}} }{\frac{1}{2} }$

$=-\frac{1}{2} *u^{\frac{1}{2}} *2$

$=-\sqrt{u}$

$=-\sqrt{1-x^2} +c$

$\int\limits^\frac{1}{2} _0 {\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}} }} \, dx =$

$=-\sqrt{1-x^2} |\limits^\frac{1}{2} _0$

$=-(\sqrt{1-(\frac{1}{2} )^2} -\sqrt{1-0^2})$

$=-(\sqrt{1-\frac{1}{4} } -\sqrt{1})$

$=-(\sqrt{\frac{3}{4} } -1)$

$=-(\frac{\sqrt{3}}{2}} } -1)$

$=1-\frac{\sqrt{3}}{2}}$