Question

(matemática) uma obra necessita de vigilantes para o turno da noite durante exatamente 36 noites.Se para cada noite são necessários 2 vigilantes,quantos devem ser contratados de modo que o mesmo par de vigilantes não ae repita?

Answer 1

Serao necessários 9 funcionários para que vigiem por 36 noites sem repetir o par de funcionários.

Vamos considerar alguns casos de numeros pequenos para compreender como funciona o problema.

Suponha que eu contrate 3 funcionários.

Por quantas noites será possível colocar 2 deles para trabalhar sem repetir o par?

Por apenas 3 noites. Pois se tivermos contratado A, B e C, teremos os pares AB, AC e BC (lembre que AB=BA pois formam o mesmo par).

É ao contratar 4 pessoas?

Teremos 6 noites de trabalho pois teremos AB AC AD BC BD CD.

Agora vamos tentar escrever isto com fatorias para entender a fórmula por trás.

Para 3 pessoas, existem 3!=6 arranjos. A saber:

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

Ao tomar apenas 2 pessoas, teremos ainda 6 arranjos:

AB AC BA BC CA CB

E como podemos ver, cada par é repetido 2 vezes

Portanto, existem 3 combinações diferentes:

$\dfrac{3!}{2}$

Para 4 pessoas, temos 4!=24 arranjos.

Tomando duas pessoas teremos um total de 12 arranjos possíveis

AB BA AC CA AD DA BC CB BD DB CD DC

Ou seja, teremos

$\dfrac{4!}{2}$

Mas, novamente, existem repetição de cada par.

Portanto existem apenas 6 pares distintos:

$\dfrac{4!}{2*2}=3!=6$

Se fizermos para 5 e para 6 é, se além disso, variarmos o número de vigias por noite para 3 ou 4 vigias, veremos surgir a seguinte formula:

$\dfrac{N!} {k! (N-k)!}$

Esta fórmula dará a quantidade de pares de vigias distintos, onde k=2

Substituindo k=2 na expressão, teremos:

$\dfrac{N!} {2! (N-2)!} \geq 36$

Falta agora descobrir quem é N.

A forma mais simples é chutando valores.

Vejamos para N=5:

$\dfrac{5!} {2! (5-2)!} =\dfrac{5*4} {2} =10$

para N=6:

$\dfrac{6!} {2! (6-2)!} =\dfrac{6*5} {2}=15$

para N=7:

$\dfrac{7!} {2! (7-2)!} =21$

para N=8:

$\dfrac{8!} {2! (8-2)!} =28$

Finalmente, para N=9:

$\bf \dfrac{9!} {2! (9-2)!} =36$

Answer 2

Resposta:

9

Explicação passo a passo: