Question

Matemática - trigonometria

Answer 1

Explicação passo a passo:

Sabendo que $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ e que $\frac{\pi}{2}<x<\pi$, então $x$ se encontra no segundo quadrante.

Pela relação fundamental da trigonometria, temos:

$\sin^2x + \cos^2x=1$

Substituindo, teremos:

$\sin^2x + (-\frac{\sqrt{3}}{3})^2=1\\\\\sin^2x + \frac{3}{9}=1\\\\\sin^2x + \frac{1}{3}=1\\\\\sin^2x=\frac{2}{3}\\\\\sin x=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Como $x$ está no segundo quadrante: $\sin x = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Agora que sabemos $\cos x$ e $\sin x$, basta calcular $\tan x$:

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\\\\\tan x = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\\\\tan x = \frac{\sqrt{6}}{3}\cdot (-\frac{3}{\sqrt{3}})\\\\\tan x = -\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\\\\\tan x = -\frac{\sqrt{18}}{3}\\\\\tan x = -\frac{3\sqrt{2}}{3}\\\\\tan x = -\sqrt{2}$