Matemática-Topologia Geral-Teorema da Convergência do Ultrafiltro
Prove que:
Um espaço topológico é compacto se e somente se todo ultrafiltro em X convergir para pelo menos um ponto.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Olá,
Explicação passo-a-passo:
Dada a complexidade da pergunta, assumirei conhecido determinados conceitos específicos para a demonstração.
Primeiramente, iremos proceder a prova por contradição.
Seja F um ultrafiltro em Y e suponha que Y seja compacto, e suponhamos que F não converge para nenhum ponto.
Então, para todo y em Y existirá alguma vizinhança U_y com U_y que não pertence ao ultrafiltro F. Segue-se que a coleção {U_y: y ∈ Y} é uma cobertura aberta de Y. Como Y é compacto por suposição, possui subcobertura finita. Mas Y ∈ F para alguma vizinhança y que está em F. Diate disso, temos uma contradição.
Por outro lado, suponha que Y não seja compacto. Vamos assumir que {U_i : i ∈ I} é uma cobertura aberta de Y que não possui subcobertura finita. Segue-se que ∩_{i∈I}(Y - U_i) = ∅ mas ∩_{i∈I} (Y - U_i)
tem a propriedade de interseção finita.
Consideremos U um ultrafiltro gerado a partir de
{(Y - Ui): i ∈ I}. Para qualquer ponto y ∈ Y, podemos escolher U_i correspondente tal que y ∈ U_i. Porém, U_i não pertence ao ultrafiltro F (porque F é ultrafiltro e Y - U_i ∈ F), então F
não converge para nenhum y∈ Y.
Bons estudos.