Question

[Matemática] [Superior] [Limites]


$\lim_{x \to 2} \frac{ \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{2} }{x-2}$

Questão fácil,porém estou tendo muita dificuldade nesse tipo de fatoração..


Gabarito: $\frac{1}{4 \sqrt[4]{8} }$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Guilherme, que temos:

a) Dar o limite, quando "x" tende pra "2" na seguinte expressão:

lim f(x) = [⁴√(x) - ⁴√(2)] (x-2)
x--> 2

Veja: se formos substituir o "x" diretamente por "2", iremos ficar com uma indeterminação na forma de alguma coisa como "0/0" e isso não existe. Então deveremos levantar essa indeterminação. E uma das formas de fazer esse levantamento será encontrar a primeira derivada do numerador e do  denominador, de forma independente.

- Note que, no numerador temos:

[⁴√(x) - ⁴√(2)] --- o que poderá ser reescrito assim:

x¹/⁴ - 2¹/⁴ ----- derivando, teremos:

(1/4)*x⁽1/⁴⁻¹) = (1/4)*x⁻³/⁴ = 1/[4*⁴√(x³)]

- E, no denominador (x-2), a derivada será apenas:

1.

Assim, ficaremos, já considerando as derivadas independentes do numerador e do denominador:

f'(x) = [1/[4*⁴√(x³)] / 1 --- ou apenas:
f'(x) = 1/[4*⁴√(x³)] --- para racionalizar, deveremos multiplicar numerador e denominador por ⁴√(x), ficando assim:

f'(x) = 1*⁴√(x) / [4 * ⁴√(x³)*⁴√(x)] ---- desenvolvendo, teremos:
f'(x) = ⁴√(x) / [4 * ⁴√(x⁴)] --- note que o "x" por estar elevada à quarta potência, sairá de dentro da raiz índice 4, ficando apenas com:

f'(x) = ⁴√(x) / 4x ---- agora é só substituir o "x" por "2" e teremos o limite pedido. Logo:

f'(x) = ⁴√(2) / 4*2
f'(x) = ⁴√(2) / 8 ---- este será o limite pedido, o que você poderá representar assim:

lim f(x) = [⁴√(x) - ⁴√(2)] (x-2) = ⁴√(2) / 8 <--- Esta é a resposta.
x--> 2

A propósito, note que a resposta que demos aí em cima é a mesma coisa que o que está no seu gabarito [1/⁴√(8)], ou o que é a mesma coisa: [1/⁴√(2³)] --- o que fica, no fim, igual à resposta que demos, após procedermos à racionalização: [⁴√(2) / 8].


É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Uma maneira de não usar a derivada é você fatorar, por exemplo, o a⁴ - b⁴. Veja,

a⁴ - b⁴ = ( a² - b² ) ( a² + b² )

Também pode ser rescrito como,

a⁴ - b⁴ = ( a - b ) ( a + b ) ( a² + b² )

Extraímos uma raiz 4 no a⁴ e no b⁴, veja:

$\sqrt[4]{a^4} - \sqrt[4]{b^4} = ( a - b ) ( a + b ) ( a^2 + b^2 )$

$a - b = ( a - b ) ( a + b ) ( a^2 + b^2)$

Agora, para que a expressão a direita fique igual a x - 2, temos que trocar a por x e b por 2 juntamente com a raiz quarta.

$x - 2 = ( \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{2} ) ( \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{2} ) ( \sqrt[4]{x^2} + \sqrt[4]{4} )$

Substituímos no lugar do ( x - 2 ) a expressão a cima,

$\lim_{x \to 2} \dfrac{ \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{2} }{ ( \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{2} ) ( \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{2} ) ( \sqrt[4]{x^2} + \sqrt[4]{4} )}$

$\lim_{x \to 2} \dfrac{ 1 }{ ( \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{2} ) ( \sqrt[4]{x^2} + \sqrt[4]{4} )}$

Feito as decidas simplificações, podemos substituir o 2 no lugar do x.

$\lim_{x \to 2} \dfrac{ 1 }{ ( \sqrt[4]{2} + \sqrt [4]{2} ) ( \sqrt[4]{4} + \sqrt[4]{4} )}$

$\lim_{x \to 2} \dfrac{ 1 }{ ( 2 \sqrt[4]{2} ) ( 2 \sqrt[4]{4} )}$

$\lim_{x \to 2} \dfrac{ 1 }{4 \sqrt[4]{8}}$

É isso aí, bons estudos!