Question

Matemática só para craques

Answer 1

Olá

Temos o seguinte propósito

Partindo do valor do termo variável desta equação

$\mathtt{\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=1}$

Encontrar o valor numérico da expressão

$\mathtt{\left(x^6+\dfrac{1}{x^6}\right)}$

Logo, para isso

Some as frações, lembrando de multiplicar o valor externo pelo valor do denominador, visto que seu denominador é 1

$\mathtt{\dfrac{x\cdot x +1}{x}=1}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{x^2+1}{x}=1}$

Multiplique ambos os lados da equação pelo valor do denominador

$\mathtt{\dfrac{x^2+1}{x}\cdot x=1\cdot x}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{x^2+1}{\not{x}}\cdot\not{x}=1\cdot x}\\\\\\ \mathtt{x^2+1=x}$

Mude a posição do termo variável de menor grau para o outro lado da equação e altere seu sinal

$\mathtt{x^2+1-x=0}$

Reorganize os termos

$\mathtt{x^2-x+1=0}$

Então, utilize a fórmula de Bháskara para encontrar as raízes desta equação

$\mathtt{x=\dfrac{-b\pm\sqrt[2]{\Delta}}{2a}}$

Sabendo que
$\begin{cases}\mathtt{a=1}\\ \mathtt{b=-1}\\ \mathtt{c=1}\\ \mathtt{\Delta = b^2-4\cdot a\cdot c}\\ \end{cases}$

Podemos calcular o discriminante Delta e encontrarmos o valor da fração substituindo seus valores

$\mathtt{\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot1}$

Multiplique os valores e potencialize

$\mathtt{\Delta=1-4}\\\\\\ \mathtt{\Delta=-3}$

Substituímos este valor na fórmula de Bháskara

$\mathtt{x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt[2]{-3}}{2\cdot 1}}$

Simplifique os jogos de sinal e as multiplicações

$\mathtt{x=\dfrac{1\pm\sqrt[2]{-3}}{2}}$

Então, encontre o valor da raiz, sabendo que $\mathtt{\sqrt[2]{-1}=i}$

Traduza a raiz como a multiplicação de um valor complexo e um irracional

$\mathtt{x=\dfrac{1\pm(\sqrt[2]{-1}\cdot\sqrt[2]{3})}{2}}$

Substitua o valor do radical complexo pela propriedade

$\mathtt{x=\dfrac{1\pm\sqrt[2]{3}i}{2}}$

Separe as raízes

$\mathtt{x'=\dfrac{1+\sqrt[2]{3}i}{2}~~~~~~x"=\dfrac{1-\sqrt[2]{3}i}{2}}$

Logo, podemos substituir estes valores na expressão do início, separadamente

$\mathtt{\left(\dfrac{1+\sqrt[2]{3}i}{2}\right)^6+\dfrac{1}{\left(\dfrac{1+\sqrt[2]{3}i}{2}\right)^6}}$

Podemos simplificar a fração, complexa, potencializando o seu denominador fracionário

$\mathtt{\left(\dfrac{1+\sqrt[2]{3}i}{2}\right)^6+\dfrac{1}{\left(\dfrac{(1+\sqrt[2]{3}i)^6}{64}\right)}}}$

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador fracionário

$\mathtt{\dfrac{(1+\sqrt[2]{3}i}{64}+1\cdot\dfrac{64}{(1+\sqrt[2]{3}i)^6}}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{(1+\sqrt[2]{3}i}{64}+\dfrac{64}{(1+\sqrt[2]{3}i)^6}}$

Agora, potencialize o denominador e consequentemente, o numerador da outra fração

$\mathtt{\dfrac{((1+\sqrt[2]{3}i)\cdot(1+\sqrt[2]{3}i)^2)^2}{64}+\dfrac{64}{((1+\sqrt[2]{3}i)\cdot(1+\sqrt[2]{3}i)^2)^2}}$

Calcule as potencializações separadamente

$\mathtt{\dfrac{((1+\sqrt[2]{3}i)(2\sqrt[2]{3}i-2))^2}{64}+\dfrac{64}{((1+\sqrt[2]{3}i)(2\sqrt[2]{3}-2))^2}}$

Fatore um dos componentes do produto e use a propriedade da soma pela diferença

$\mathtt{\dfrac{((1+\sqrt[2]{3}i)\cdot 2(\sqrt[2]{3}i-1))^2}{64}+\dfrac{64}{((1+\sqrt[2]{3}i)\cdot 2(\sqrt[2]{3}i-1)}}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{(2(-4))^2}{64}+\dfrac{64}{(2(-4))^2}}$

Multiplique os valores e depois potencialize

$\mathtt{\dfrac{(-8)^2}{64}+\dfrac{64}{(-8)^2}}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{64}{64}+\dfrac{64}{64}}\\\\\\ \mathtt{1+1=2}$

Logo, tanto para seu conjugado, teríamos o mesmo resultado

Neste caso, qualquer expoente múltiplo de 3 concece igualdade entre os conjugados

Resposta correta
Letra B