Question

MATEMÁTICA

O triângulo $ABC$ possu vértices com coordenadas $A=(3,4)$, $B=(3,-5)$ e $C=(4,1)$ no sistema cartesiano no qual os eixos coordenados estão graduados em centímetros.

A altura relativa ao lado $AB$ do triângulo $ABC$ mede, em centímetros,

a) $9$

b) $\frac{9}{2}$

c) $\frac{1}{2}$

d) $1$

e) $2$

✨ $By:Mary$ ✨

Answer 1

Calcular a altura relativa do lado AB de um triângulo ABC será o mesmo que calcular a distância de um ponto a uma linha. A distância de um ponto a uma linha é o comprimento de um segmento que, a partir do ponto no plano, é perpendicular à linha. Para que o comprimento desse segmento seja mínimo, o segmento e a linha devem ser perpendiculares.

Conhecendo as coordenadas do ponto $P(x_p,~y_p)$ e a equação geral da reta, a distância é obtida pela fórmula:

$\begin{array}{ccc}\qquad&\bullet~d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}~\bullet&\qquad\end{array}$

É necessário colocar a equação da reta em sua forma geral e substituir na equação os valores das coordenadas do ponto. O resultado é expresso em valor absoluto. Para calcular a altura relativa do lado AB de ΔABC, a primeira coisa que devemos fazer é calcular a equação da reta que passa pelos pontos AB, por definição a equação da reta pode ser calculada desde que saibamos o valor da pendente m e os pontos $P(x_1,~y_1)$, se soubermos tudo isso podemos usar a fórmula:

$y - y_1 = m\left(x - x_1\right),\qquad com~m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\\\ Forma~ geral:~ Ax + By + C =0$

Representando graficamente os pontos A, B e C podemos ver que os pontos A e B são verticais, logo a equação da reta que passa pelos pontos A e B é uma reta vertical já que os pontos $x_1$ e $x_2$ são iguais, portanto, se tentarmos determinar a pendente m entre os pontos A e B, obteremos um resultado indefinido. De todos os tipos de linhas vertical é a única cuja pendente é indefinida, pois todas as linhas verticais têm o mesmo valor para x, e no cálculo da inclinação o denominador da fórmula $(x_2– x_1 )$ é igual a zero, o que é uma indeterminação.

Em geometria, a linha vertical é a linha que, independentemente do valor que assumimos no eixo x, é sempre paralela ao eixo y, e sua pendente sempre será indefinida. Como $x_1=x_2$ temos que a equação da reta será igual aos valores que x tem nos dois pontos, portanto a equação da reta dos pontos A e B em sua forma geral é igual a:

$x=3\\\\\\ Forma~geral:~x-3=0\begin{cases}A=1\\B=0\\C=-3\end{cases}$

Como conhecemos a equação da reta que passa pelos pontos A e B, o próximo passo é encontrar a altura relativa do triângulo ABC, para isso levamos em conta que $\bf C(x_0,~y_0)=C(4,~1)$, portanto a altura relativa do triângulo ABC é igual a:

$d=\dfrac{|1\cdot 4+\overbrace{0\cdot1}^0-3|}{\sqrt{1^2+{0^2}}}\qquad\to\qquad d=\dfrac{|4-3|}{\sqrt{1}} \\\\ d=\dfrac{|1|}{1} \qquad\to\qquad \boxed{\bf d=1~cm}~\checkmark$

Portanto, a opção d) representa a altura relativa do triângulo ABC.

Bons estudos e espero que te ajude :-)

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