Question

Matemática (inequação)

Answer 1

Vamos achar o conjunto solução da inequação dada:

$\dfrac{2x+6}{14-2x}\ge 0~~~~~~(\text{com }x\ne 7)$


Sabemos que $14-2x\ne 0.$ Logo, $(14-2x)^2>0.$ Multiplicando os dois lados por $(14-2x)^2,$ o sentido da desigualdade e preservado:

$\dfrac{2x+6}{14-2x}\cdot (14-2x)^2\ge 0\cdot (14-2x)^2\\\\\\ (2x+6)\,(14-2x)\ge 0\\\\ 2(x+3)\cdot (-2)\,(-7+x)\ge 0\\\\ -4\,(x+3)\,(x-7)\ge 0$


Dividindo os dois lados por $-4,$ o sentido da desigualdade se inverte, e ficamos com

$(x+3)\,(x-7)\le 0~~~~~~\mathbf{(i)}$


As raízes do lado esquerdo da inequação $\mathbf{(i)}$ acima são:

$x_1=-3~\text{ e }~x_2=7$


Como queremos que o lado esquerdo seja $\le 0,$ devemos ter

$x_1\le x\le x_2\\\\ -3\le x\le 7$


Mas $x\ne 7.$ Então, a solução da inequação dada é

$-3\le x<7.$


Dentre as soluções, apenas as seguintes são números inteiros:

$\{-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}$

totalizando $10$ soluções inteiras.


Resposta: alternativa $\text{c) }10.$