Question

Matematica (Imagem) Sobre triangulos

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se que o triângulo posto na "foto" é este: BAC, retângulo em A, e BED, retângulo em E, dos quais têm-se as seguintes informações:

AC = 2; AB = 2√(3); AD = 2DE. Chamaremos o segmento DE de "x" e, assim, as informações passariam a ser estas:

AC = 2; AB = 2√(3); e AD = 2x.

Pede-se a medida do segmento CD, se de "C" puxarmos um segmento até D.

i) Antes de mais nada, vamos logo calcular qual é a medida da hipotenusa BC. Para isso, basta fazermos (aplicando Pitágoras):

(BC)² = (AC)² + (BC)² ---- substituindo-se "AC" por "2" e "BC" por 2√(3), teremos

(BC)² = 2² + [2√(3)]² ---- desenvolvendo, teremos:
(BC)² = 4 + 4*3
(BC)² = 4 + 12
(BC)² = 16
BC = +-√(16) ----- como √(16) = 4, então teremos:
BC = +-4 ---- mas como a medida não é negativa, então ficamos apenas com a raiz positiva e igual a:

BC = 4 <--- Esta é a medida da hipotenusa BC, no triângulo BAC, retângulo em A.

ii) Bem, agora vamos para as relações de semelhança de triângulos, comparando o triângulo BAC (retângulo em A) e o triângulo BED (retângulo em "E"). Assim teremos:

DE/AC = BD/BC

Antes veja que BD = 2√(3) - 2DE, pois todo o lado AB = 2√(3). Logo, se queremos apenas a medida do segmento BD, então é só chamarmos o todo menos o segmento AD (que é igual a 2DE).

Agora note: chamamos DE de "x". Então substituiremos DE por "x"; AC é igual a "2". Então substituiremos AC por "2". Note que BD = 2√(3)-2DE. E como "DE" nós chamamos de "x", então BD = 2√(3) - 2x. E finalmente, veja que BC = 4, conforme encontramos antes (logo aí acima). Assim, fazendo essas substituições, teremos:

x/2 = (2√(3) - 2x)/4 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
4*x = 2*(2√(3) - 2x) ----- se dividirmos ambos os membros por "2", iremos ficar apenas com:

2x = 2√(3) - 2x ---- passando-se "-2x" para o 1º membro, teremos:
2x+2x = 2√(3)
4x = 2√(3)
x = 2√(3)/4 --- dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos:
x = √(3)/2 <--- Esta é a medida do segmento DE (que chamamos de "x").

iii) Ora, se DE = x e encontramos que x = √(3)/2, então o segmento AD, que é igual a "2DE", então AD = 2x ---> AD = 2√(3)/2 ---> AD = √(3) (após dividirmos numerador e denominador por "2").

iv) Pronto.Agora já temos tudo para encontrar o segmento CD, pois ele é a hipotenusa do triângulo CAD (retângulo em A), ou seja, aplicando Pitágoras vamos encontrar o segmento CD pedido. Assim:

(CD)² = (AC)² + (AD)² ---- substituindo-se "AC" por "2" e "AD" por √(3), teremos:

(CD)² = 2² + [√(3)]²
(CD)² = 4 + 3
(CD)² = 7
CD = +-√(7) ------ como a medida de CD não é negativa, então tomaremos apenas a medida positiva e igual a:

CD = √(7)  <--- Esta é a resposta. Opção "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.