Question

Matematica- geometria espacial

(com resolução e explicaçao por favor)

Num PRISMA RETANGULAR reto as arestas da base medem 5cm, 6cm, 7cm, e uma aresta lateral mede 8cm. Calcule a area total desse prisma

OBG

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria espacial e plana.

Num prisma triangular reto, as arestas da base medem $5~cm,~6~cm$ e $7~cm$ e uma aresta lateral mede $8~cm$. Devemos calcular a área total deste prisma.

Primeiro, lembre-se que a área total de um prisma é calculada pela soma entre o dobro da área da base e a soma das áreas laterais: $A_{total}=2\cdot A_{base}+A_{lateral}$.

Observe que este prisma não é regular pois o triângulo da base é escaleno e isto determina que os retângulos que formam as laterais deste prisma têm áreas diferentes.

Primeiro, calculamos a área das bases utilizando a Fórmula de Heron. Sejam as medidas dos lados de um triângulo iguais a $a,~b$ e $c$. A área deste triângulo pode ser calculada pela fórmula: $A=\sqrt{p\cdot(p-a)\cdot(p-b)\cdot(p-c)}$, em que $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ é o semiperímetro.

Assim, calculamos o semiperímetro do triângulo da base utilizando as medidas de suas arestas:

$p=\dfrac{5+6+7}{2}$

Some os valores e simplifique a fração

$p=\dfrac{18}{2}\\\\\\ p=9$

Substitua estas medidas na fórmula de Heron:

$A=\sqrt{9\cdot(9-5)\cdot(9-6)\cdot(9-7)}$

Some, multiplique os valores e calcule o radical

$A=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}\\\\\\ A=\sqrt{216}\\\\\\ A=6\sqrt{6}~{cm}^2$

Então, calculamos a área lateral: ela será calculada pela soma das áreas dos retângulos laterais do prisma.

A área de um retângulo é calculada pelo produto entre a medida de sua base e a medida da altura. Neste caso, a altura será a medida das arestas laterais do prisma.

Observe que os segmentos que formam as arestas laterais são paralelas a aresta cuja medida é igual a $8~cm$. Com isso, a área lateral será dada por:

$A_{lateral}=8\cdot5+8\cdot6+8\cdot7\\\\\\ A_{lateral}=8\cdot(5+6+7)$

Some e multiplique os valores

$A_{lateral}=8\cdot18\\\\\\ A_{lateral}=144~cm^2$

Então, a área total deste prisma é igual a:

$A_{total}=2\cdot 6\sqrt{6}+144\\\\\\ A_{total}=12\sqrt{6}+144~cm^2~~\checkmark$