Question

MATEMÁTICA

Em uma progressão aritmética, a soma dos dez primeiros termos é 400 e a soma do décimo primeiro ao vigésimo termo é 1000. Calcule o primeiro termo e a razão.

a) primeiro termo igual a 11 e razão igual a 7.

b) primeiro termo igual a 12 e razão igual a 8 .

c) primeiro termo igual a 10 e razão igual a 9 .

d) primeiro termo igual a 15 e razão igual a 10 .

e) primeiro termo igual a 13 e razão igual a 6 .

✨ $By: Mary$ ✨

Answer 1

e) primeiro termo igual a 13 e razão igual a 6 .

                               $\Large Progress\tilde{a}o ~Aritm\acute{e}tica$

Fórmula para Soma Termos  =>   $Sn = ( a1 + an ) . n / 2$  

A soma dos dez primeiros termos é 400

Substituir na formula da soma:

$Sn = ( a1 + an ) . n / 2\\\\400 = ( a1 + a10 ) . 10 / 2\\\\400 ~\cdot~ 2= ( 10a1 + 10a10 ) \\\\800= 10a1 + 10a10\\\\\\\dfrac{800= 10a1 + 10a10}{10} \\\\\\\boxed{80 = a1 + a10}$

E a soma do décimo primeiro ao vigésimo termo é 1000.

$Sn = ( a11 + a20 ) . 10/ 2\\\\1000 = ( a11 + a20 ) . 10/ 2\\\\1000~\cdot ~2 = ( a11 + a20 ) . 10\\\\ 2000 = 10a11 + 10a20\\\\\\ \dfrac{2000 = 10a11 + 10a20}{10} \\\\\\ \boxed{200= a1 + a20}$

Substituir no termo geral.

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$an = a1 + ( n -1 ) . r \\\\2000= a1 + a1 + 10r\\\\2000= a1 + 10r + a1 + 19r\\\\\boxed{2000 = 2a1 + 29r}$

Temos duas equações que podemos montar um sistema de equações.

$\begin{cases}80= 2a1 + 9r \\200= 2a1 + 29r \\\end{cases}\\\\\\\begin{cases}80= 2a1 + 9r ~. ~(-1)\\200 = 2a1 + 29r \\\end{cases}\\\\\\\begin{cases}-80= -2a1 - 9r \\200= 2a1 + 29r \\\end{cases}\\ ~~--------\\~~~~~~120 = 20 r\\\\\\20r =120\\\\\\r = \dfrac{120}{20} \\\\\\\boxed{~r = 6 ~}$

Com o valor da razão encontrar o valor do termo a1:

$80= 2a1 + 9r\\\\80 = 2a1 + 9 ~. ~6\\\\80 = 2a1 + 54\\\\80 - 54 = 2a1\\\\26 = 2a1\\\\2a1 = 26\\\\a1 = \dfrac{26}{2}\\\\\\a1 = 13$

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Para saber mais:

https://brainly.com.br/tarefa/50715160

https://brainly.com.br/tarefa/50940174

https://brainly.com.br/tarefa/51210762