Question

Matemática Discreta:

Determine se cada função abaixo de Z para Z é injetora e explique:

a) f(n) = n-1
b) f(n) = $n^{2}$+1
c) f(n) = $n^{3}$
d)f(n) = $\frac{n}{2}$

Answer 1

Uma função injetora é aquela em que cada elemento da imagem está associado a apenas um único valor do domínio da função.

Então, por exemplo, podemos afirmar que a função f(x) = x é injetora, pois f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3… Cada valor de f vem de um único valor de x.

Por outro lado, f(x) = x² não seria injetora, pois temos situações em que os elementos do conjunto imagem estão associados a mais de um valor do domínio. Por exemplo, temos f(2) = 4 e f(-2) = 4. Como o elemento "4" do conjunto imagem está associado a mais de um valor de x (2 e -2), a função não é injetora.

Então:

a) f(n) = n - 1 é uma função injetora, pois todos os valores assumidos por f estão associados a apenas um valor de n. Você nunca vai ter um valor de f que pode ser resultado de dois "n" diferentes.

b) f(n) = n² + 1 não é uma função injetora, pois você tem situações em que elementos do conjunto imagem estão associados a mais de um valor do domínio. Por exemplo, tanto n = 2 como n = -2 resultam em f(2) = f(-2) = 5. Veja que isso não ocorre na função do item a).

c) f(n) = n³ é uma função injetora, assim como a função do item a), pois cada valor de f está associado a apenas um valor de n.

d) f(n) = n/2 é uma função injetora, assim como a função do item a), pois cada valor de f está associado a apenas um valor de n.