Question

MATEMÁTICA - Dada a circunferência x² + y² – 12x – 2y + 12 = 0 e os pontos A(10, 4) e B(1, 1), podemos afirmar que o segmento AB

Answer 1

A priori, iremos mudar essa equação da circunferência, passar ela pra forma reduzida (Acho que era esse o nome).

x² + y² - 12x - 2y + 12 = 0

x² - 12x + y² - 2y = -12

x² - 12x + 36 + y² - 2y + 1 = -12 + 36 + 1

(x - 6)² + (y - 1)² = 25

Com isso, sabemos que o centro dessa circunferência é C(6,1) e r = 5.

Agora faremos a distância desses pontos até o centro da circunferência, se essas distâncias forem:

d < 5 ⇒ Ponto interno à circunferência

d = 5 ⇒ Ponto na circunferência

d > 5 ⇒ Ponto interno à circunferência

dCA = √(10-1)² + (4 - 1)² = √(81 + 9) = √90 > 5

Ponto A é externo.

dCB = √(6 - 1)² + (1 - 1)² = 5 = 5

Ponto na circunferência.

Com isso, temos duas possibilidades:

Reta secante

Reta tangente

Pra isso faremos a equação dessa reta:

y = ax + b

a = 10-1 / 4 - 1 = 3

(y - 4) = 3(x - 10)

y = 3x - 26

Agora, na equação da circunferência, isolaremos o y.

(x - 6)² + (y - 1)² = 25

(y - 1)² = 25 - (x - 6)²

y - 1 = ±√(25 - (x - 6)² )

y = 1 +√(25 - (x-6)² )

Igualando

3x - 26 = 1 + √(25 - (x-6)²)

2x - 27 = √(25 - (x-6)²)

(2x - 27)² = 25 - (x-6)²

4x² - 108x + 729 = 25 - x² + 12x - 36

4x² -120x + 693 = 0

∆ = 120² - 4.4.693 > 0

Delta dará positivo, dando duas interseções, então essa é uma reta secante.