Question

MATEMÁTICA - CONTEXTO & APLICAÇÕES: Ensino médio - Volume 3. Qual deve ser o tempo para que a quantia de R$ 30 000,00 gere o montante de R$ 32 781,81, quando aplicada à taxa de 3% ao mês, no sistema de juros compostos?

Answer 1

Temos que a fórmula do montante no juros compostos é dada por:

$\boxed{ \boxed{ \sf M = C(1+i)^{t}}} \\ \\ \sf onde \to \begin{cases} \sf M =montante \\ \sf C = capital \\ \sf i = taxa \\ \sf t = tempo\end{cases}$

A questão nos fornece os seguintes valores:

$\sf M = 32 \: 781,81 \: reais \\ \sf C = 30 \: 000 \: reais \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf i = 3 \% \: a.m \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf t = ? \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo os dados na fórmula:

$\sf 32 \: 781,81 = 30 \: 000(1 + 3 \%) {}^{t} \\ \sf \frac{32 \: 781, 81}{30 \: 000} = (1 + 0,03) {}^{t} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf 1,092 = (1,03) {}^{t} \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Nesse momento devemos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação:

$\sf log(1 ,092) = log(1 ,03) {}^{t}$

Lembre-se da seguinte propriedade de logaritmos:

$\boxed{\sf log_{a}(b) {}^{c} = c. log_{a}(b) }$

Aplicando a propriedade:

$\sf log(1 ,092) = t. log(1 ,03) \\ \sf t = \frac{log(1 ,092)}{ log(1 ,03)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo esses valores na calculadora:

$\boxed{\sf t \approx 3 \: meses}$

Espero ter ajudado