Question

Matematica - 75Pts (Imagem)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jamilkr, que a resolução é simples (embora um pouco trabalhosa).

Tem-se que f(x) = ax + b.
Sabe-se que f(x) intercepta g(x) = -x² - x + 2 nos pontos A(x₁; y₁) e B(x₂; y₂).
Sabe-se também que o ponto A(x₁; y₁) é o vértice da parábola formada por g(x) , que é g(x) = -x² - x + 2. e que a abscissa "x₂" do ponto B é a raiz positiva da função g(x) = - x² - x + 2.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Como o ponto A(x₁; y₁) é o vértice da parábola de g(x) = - x² - x + 2, então vamos calcular esses dois pontos, utilizando-se as fórmulas do "x" do vértice (xv) e do "y" do vértice (yv). Assim, teremos:

xv = -b/2a ---- substituindo-se "b" por "-1" e "a" também por "-1" (pois são os coeficientes, respectivamente de "x" e de "x²" na função g(x) = -x²-x+2), teremos:

xv = -(-1)/2*(-1)
xv = 1/-2
xv = - 1/2 <--- Esta é a abscissa do vértice da parábola.

yv = - (b²-4ac)/4a ---- fazendo as devidas substituições (vide quais são os coeficientes da função g(x) = -x² - x + 2):

yv = - ((-1)² - 4*(-1)*2))/4*(-1)
yv = - (1 + 8)/-4
yv = - (9)/-4 ---ou apenas:
yv = -9/-4 ----- ou (veja que, na divisão, menos com menos dá mais):
yv = 9/4  <--- Esta é a ordenada do vértice da parábola.

Assim, o ponto A(x₁; y₁) será este: A(-1/2; 9/4)

ii) Como no ponto B(x₂; y₂) a abscissa "x²" é a raiz positiva da função quadrática: g(x) = - x²-x+2, então se você aplicar Bháskara vai encontrar que as suas raízes são estas:

x' = -2
x'' = 1

Assim, a raiz positiva de g(x) = -x²-x+2 é igual a "1". E lembre-se: quando você encontra as raízes de uma função, o seu gráfico corta o eixo dos "x" exatamente no local das raízes. E quando isso está ocorrendo, o "y" é igual a zero. Ou seja, quando "x" for igual a "-2" o "y" será igual a "0"; e quando o "x" for igual a "1" o "y" também será igual a zero.
Assim, como no ponto B(x₂; y₂) a abscissa "x²" é a raiz positiva de g(x), e considerando que a raiz positiva de g(x) é igual a "1", então o ponto B(x₂; y₂) será este: B(1; 0).

iii) Agora veja: já temos os dois pontos por onde o gráfico da reta f(x) = ax + b passa (note que f(x) intercepta g(x) nos pontos A e B).
Então f(x) passará nos seguintes pontos:

A(-1/2; 9/4)  e B(1; 0)

Vamos logo encontrar o coeficiente angular (m) dessa reta, que será encontrada pela seguinte fórmula:

m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então vamos encontrar qual é o valor do coeficiente angular (m) da reta f(x) = ax + b, que passa nos pontos A(-1/2; 9/4) e B(1; 0) . Assim:

m = (0-9/4)/(1-(-1/2))
m = (-9/4)/(1+1/2) --------- note que 1+1/2 = 3/2. Assim:
m = (-9/4)/(3/2) ---- veja: divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Então:

m = (-9/4)*(2/3)
m = -9*2/4*3
m = - 18/12 ---- dividindo-se numerador e denominador por "6", ficaremos apenas com:

m = -3/2 <---- Este é o coeficiente angular da reta f(x) = ax + b.

iv) Agora note isto: quando já se conhece o coeficiente angular (m) de uma reta e apenas um dos pontos por onde ela passa (x₀; y₀), a sua equação é encontrada da seguinte forma:

y - y₀ = m*(x - x₀)

Como já vimos que a reta passa nos pontos A(-1/2; 9/4) e B(1; 0), então vamos escolher um dos pontos, pois já sabemos que o seu coeficiente angular é igual a "-3/2" (m = -3/2). Então vamos escolher o ponto B(1; 0).
Assim, a equação da reta f(x) = ax + b será encontrada da seguinte forma:

y - 0 = (-3/2)*(x - 1) ----- ou, o que é a mesma coisa:
y - 0 = (-3)*(x - 1)/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*(y-0) = -3*(x-1) ---- efetuando-se os produtos indicados, teremos:
2*y - 2*0 = -3*x - 3*(-1)
2y - 0 = - 3x + 3  --- ou apenas:
2y = - 3x + 3
y = (-3x+3)/2 ----- note: se colocarmos o sinal de menos para antes dos parênteses, iremos ficar da seguinte forma:

y = - (3x-3)/2 <--- Pronto.Esta é a resposta. É a opção "c".  Ou seja, esta é a expressão que representa f(x) = ax + b. No caso, bastaria substituir "y" por "f(x)" e teríamos que: f(x) = - (3x-3)/2 .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.