Question

Matemática 30 pontos

1O ponto médio entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é:
a) -1
b) 0
c) 1 ou 13
d) -1 ou 10
e) 2 ou 12

2Determine as coordenadas que localizam o ponto médio entre A (4,3) e B (2,-1).

3O ponto médio entre A(x,y) e B(8,10) é (6,10), determine as coordenadas do ponto A desse segmento.

Answer 1

Respostas: 1) c) 1 ou 13, 2) (3 , 1) e 3) A(4 , 10).

Lembre-se que o ponto médio entre dois pontos A e B é igual a $\big(\frac{x_a+x_b}{2}~,~\frac{y_a+y_b}{2}\big)$ e a distância entre dois pontos A e B é igual a $\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}$.

⠀

1) A distância entre os pontos A(– 2 , y) e B(6 , 7) vale 10, então (na tarefa está escrito ''ponto médio'', mas o que mais faz sentido é ser a distância):

$d_{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}$

$10=\sqrt{[6-(-\,2)]^2+(7-y)^2}$

$10=\sqrt{(6+2)^2+7^2-2\cdot7\cdot y+y^2}$

$10=\sqrt{8^2+49-14y+y^2}$

$10=\sqrt{64+49-14y+y^2}$

$10=\sqrt{113-14y+y^2}$

$(10)^2=\big(\sqrt{113-14y+y^2}\big)^2$

$100=113-14y+y^2$

$y^2-14y+113-100=0$

$y^2-14y+13=0$

$y^2-y-13y+13=0$

$y(y-1)-13(y-1)=0$

$(y-1)(y-13)=0$

$\begin{cases}y-1=0~\vee~y-13=0\\y_1=1~\vee~y_2=13\end{cases}$

Resposta: alternativa c) 1 ou 13.

⠀

2) Determinar o ponto médio entre A(4 , 3) e B(2 , – 1):

$P_M=\big(\frac{x_a+x_b}{2}~,~\frac{y_a+y_b}{2}\big)$

$P_M=\big(\frac{4+2}{2}~,~\frac{3+(-1)}{2}\big)$

$P_M=\big(\frac{6}{2}~,~\frac{3-1}{2}\big)$

$P_M=\big(3~,~\frac{2}{2}\big)$

$P_M=\big(3~,~1\big)$

Resposta: (3 , 1).

⠀

3) O ponto médio entre A(x , y) e B(8 , 10) é (6 , 10), então:

$P_M=\big(\frac{x_a+x_b}{2}~,~\frac{y_a+y_b}{2}\big)$

$(6~,~10)=\big(\frac{x+8}{2}~,~\frac{y+10}{2}\big)$

$\begin{cases}\frac{x+8}{2}=6\\\frac{y+10}{2}=10\end{cases}\Leftrightarrow~~\begin{cases}x+8=2\cdot6\\y+10=2\cdot10\end{cases}\Leftrightarrow~~\begin{cases}x+8=12\\y+10=20\end{cases}$

$\Leftrightarrow~~\begin{cases}x=12-8\\y=20-10\end{cases}\Leftrightarrow~~\begin{cases}x=4\\y=10\end{cases}$

Resposta: A(4 , 10).

⠀

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.