Question

Marque a alternativa que indica o valor da integral ∫20(x3−x2−2x)dx 2 -8/3 -5/2 3/2 16/3

Answer 1

Temos a seguinte integral definida:

$\int_{0}^{2}(x {}^{3} - x {}^{2} - 2x)dx$

Devemos lembrar que a integral da soma/subtração de várias funções é igual a integral de cada uma delas, tal aplicação é dada por:

$\boxed{ \int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x) dx}$

Aplicando a nossa integral:

$\int_{0}^{2}x {}^{3} dx- \int_{0}^{2}x {}^{2} dx- \int_{0}^{2}2x dx$

O número 2 é considerado uma constante e como sabemos uma constante pode transitar livremente para dentro e fora de uma integral:

$\int_{0}^{2}x {}^{3} dx - \int_{0}^{2}x{}^{2} dx - 2\int_{0}^{2}x dx$

Agora vamos aplicar a propriedade de potência para integrais, dada pela seguinte relação:$\boxed{\int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} }$, aplicando:

$\frac{x {}^{3 +1 } }{3 + 1 } - \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} - 2. \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} \\ \\ \frac{x {}^{4} }{4} - \frac{x {}^{3} }{3} - \frac{2x {}^{2} }{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \frac{x {}^{4} }{4} - \frac{x {}^{3} }{3} - x {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Essa expressão toda ainda está variando de 0 à 2, só que eu não consigo escrever o símbolo de variação. Para finalizar devemos aplicar o Teorema fundamental do cálculo, dado por:

$\boxed{\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) }$

Esse teorema diz que devemos substituir os intervalos na função e subtraí-las, partindo do maior valor para o menor:

$\frac{2 {}^{4} }{4} - \frac{ {2}^3} {3} - 2 {}^{2} - ( \frac{0 {}^{4} }{4} - \frac{0{}^{3} }{3} - 0 {}^{2} ) \\ \\ \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4 - 0 + 0 + 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ 4 - 4 - \frac{8}{3} = \boxed{- \frac{8}{3} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado