Question

Marque a alternativa correta resolvendo o sistema abaixo utilizando a regra de Cramer.
x+3y -z= 0
2x+ y + z= 1
3x + y+z= 3

a) x = 1, y = z = – ½
b) x =2, y =1/2 e z=1/3
c) x= ½, y=-1/2 e z=1
d) x=3, y = z= 2

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{x=2,~y=-\dfrac{5}{4},~z=-\dfrac{7}{4}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Devemos resolver o seguinte sistema de equações utilizando a Regra de Cramer.

Seja o sistema de equações lineares:

$\begin{cases}x+3y-z=0\\2x+y+z=1\\3x+y+z=3\\\end{cases}$

Representamos este sistema na forma matricial:

$\begin{bmatrix}1&3&-1\\2&1&1\\3&1&1\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\3\\\end{bmatrix}$

Primeiro, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:

$D=\begin{vmatrix}1&3&-1\\2&1&1\\3&1&1\\\end{vmatrix}$

Para resolvermos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos

$D=\left|\begin{matrix}1&3&-1\\2&1&1\\3&1&1\\\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}1&3\\2&1\\3&1 \end{matrix}\right.$

Aplique a regra de Sarrus:

$D=1\cdot1\cdot1+3\cdot1\cdot3+(-1)\cdot2\cdot1-(3\cdot2\cdot1+1\cdot1\cdot1+(-1)\cdot1\cdot3)$

Multiplique os valores

$D=1+9-2-(6+1+-3)$

Some os valores

$D=1+9-2-6-1+3\\\\\\ D=4$

Então, a solução para as incógnitas é única, visto que o sistema é possível e determinado ($D\neq0$). Estas soluções são encontradas ao dividirmos o determinante da matriz ao substituirmos a coluna de seus coeficientes pelo valor numérico das equações pelo determinante original. Assim, teremos:

$D_x=\begin{vmatrix}0&3&-1\\1&1&1\\3&1&1\\\end{vmatrix}$

Resolvendo este determinante, temos:

$D_x=8$

Dessa forma, temos:

$x=\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{8}{4}$

Simplifique a fração

$x=2$.

Faça o mesmo para as outras incógnitas:

$D_y=\begin{vmatrix}1&0&-1\\2&1&1\\3&3&1\\\end{vmatrix}$

Resolvendo o determinante, temos:

$D_y=-5$

Dessa forma, temos:

$y=\dfrac{D_y}{D}=\dfrac{-5}{4}$

$y=-\dfrac{5}{4}$

Por fim, temos a incógnita $z$

$D_z=\begin{vmatrix}1&3&0\\2&1&1\\3&1&3\\\end{vmatrix}$

Resolvendo este determinante, temos:

$D_z=-7$

Dessa forma, temos:

$z=\dfrac{D_z}{D}=\dfrac{-7}{4}$

Simplifique a fração

$z=-\dfrac{7}{4}$.

Estas são as soluções deste sistema de equações lineares.