Question

MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA

Calcule a área da região limitada pelas funções:

y = x⁴ e y = 8x.​

Answer 1

• Raízes:

A primeira coisa que devemos encontrar é as raízes dessas funções. Lembrando que para encontrar as raízes de uma função, basta você igualar a mesma a "0".

$\begin{cases} \sf y = {x}^{4} \\ \sf x {}^{4} = 0 \\ \sf x = \sqrt[4]{0} \\ \sf x = 0 \end{cases} \begin{cases} \sf y = 8x \\ \sf 8x = 0 \\ \sf x = \frac{0}{8} \\ \sf x = 0 \end{cases}$

Tendo feito isso, parta para o próximo passo, que é esboçar o gráfico.

• Gráfico:

As raízes que encontramos serão usadas para montar o gráfico, ambas passarão pela origem, já que as raízes foram "0". (O gráfico está anexado na questão).

• Limitantes dessa área:

Os limitantes são onde começa e termina a área formada pela interseção das funções, para encontrá-los, basta você igualar as funções:

$\sf y = x {}^{4} \: \: \: e \: \: \: y = 8x \\ \\ \sf x {}^{4} = 8x \\ \vdots \\ \sf s = \{0,2, - 1 + i \sqrt{3} , - 1 - i \sqrt{3} )$

• (Não coloquei o processo, pois seria muito grande e acabaria bugando o Latex).

Portanto os limitantes são 0 e 2, irei desprezar os valores do conjunto dos complexos.

• Integral das funções

A função que será integrada, será dada pela subtração da função linear, pela função quadrática, ficando dessa forma:

$\sf \int \limits_{ 0}^{2} (8x - x {}^{4})dx$

Integrando a função:

$\sf \sf \int \limits_{ 0}^{2} (8x - x {}^{4})dx = \sf \int \limits_{ 0}^{2} \frac{8x {}^{1 + 1} }{1 + 1} - \frac{x {}^{4 + 1} }{4 + 1} = \boxed{ \sf \int \limits_{ 0}^{2} \frac{8x {}^{2} }{2} - \frac{x {}^{5} }{5} }$

Portanto essa será a integral usada para encontrar a área formada pela reta e a curva.

• Área

Para calcular a área, vamos aplicar o Teorema fundamental do cálculo que diz:

$\sf \sf \int \limits_{ a}^{b}f(x)dx = f(b) - f(a) \\ \\ \sf obs : f(b) - f(a) = \left[ \right. _{a}^{b}$

Aplicando:

$\sf \sf \int \limits_{ 0}^{2} \frac{8x {}^{2} }{2} - \frac{x {}^{5} }{5} = \sf \int \limits \frac{8x {}^{2} }{2} - \frac{x {}^{5} }{5}\left[ \right. _{ 0}^{2} =\\ \\ \sf \frac{8.(2) {}^{2} }{2} - \frac{( 2) {}^{5} }{5} - \cancel{\left( \frac{8.( 0) {}^{2} }{2} - \frac{( 0) {}^{5} }{5} \right)} =\\ \\ \sf \frac{8.4}{2} - \frac{32}{5} = \sf \frac{32}{2} - \frac{32}{5} = \frac{32.5 - 32.2}{10} = \\ \\ \sf \frac{160 - 64}{10} = \frac{96}{10} = \boxed{\sf \frac{48}{5} u.a}$

Espero ter ajudado