Maria Alice quer ir ao shopping e, para isso, pediu que sua mãe lhe desse R$50,00 para comer um lanche e ir ao cinema. Sua mãe disse que, como nada na vida é fácil, ela deveria resolver um desafio matemático para que pudesse ganhar o dinheiro. O desafio era simplificar a seguinte fração algébrica:
7x2 −28xy+28y2 x2 −x2y−4y2 +4y3
Sabendo que Maria Alice ganhou o dinheiro que queria para ir ao shopping, determine qual resposta ela deu a sua mãe:
A) 7. x+y
B) 7(x−2y) . (1−y)(x+2y)
C) 7.
D) 7(x+y) . (1+y)(x+2y)
E) 7xy . (1−y)(x+2y)
Soluções para a tarefa
A resposta de Maria Alice foi:
B) 7·(x - 2y)
(1 - y)·(x + 2y)
Explicação:
É preciso simplificar a fração algébrica:
7x² − 28xy + 28y²
x² − x²y − 4y² + 4y³
No numerador, nota-se que o fator comum entre todos os termos é 7 (todos são divisíveis por 7). Logo:
7x² − 28xy + 28y² = 7·(x² - 4xy + 4y²)
Dentro dos parênteses, temos um trinômio quadrado perfeito, pois o termo do meio corresponde ao dobro do produto das raízes do primeiro e do último termo:
√(x²) = x
√(4y²) = 2y
2(x·2y) = 4xy
Então, ele pode ser fatorado assim:
x² - 4xy + 4y² = (x - 2y)² ou (x - 2y)·(x - 2y)
Portanto, no NUMERADOR fica:
7·(x - 2y)·(x - 2y)
No denominador, fazendo fatoração por agrupamento, temos:
x² − x²y − 4y² + 4y³ = x²·(1 - y) - 4y²·(1 - y) = (1 - y)·(x² - 4y²)
x² - 4y² é uma diferença de quadrados. Pode ser fatorado como produto da soma pela diferença.
x² - 4y² = (x + 2y)·(x - 2y)
Portanto, o DENOMINADOR fica:
(1 - y)·(x + 2y)·(x - 2y)
Portanto, a nossa fração algébrica é:
7·(x - 2y)·(x - 2y)
(1 - y)·(x + 2y)·(x - 2y)
Eliminando os fatores comuns:
7·(x - 2y)
(1 - y)·(x + 2y)