Question

Mardefe adora criar enigmas de matemática e fez isso para que as pessoas descobrisse a idade dele e dos seus quatro irmãos. Para isso deu algumas informações
DICA 1: Eu, Mardefe, sou o irmão do meio
DICA 2: Somando a idade dos meus irmãos mais velhos obtém-se o quadrado da idade do irmão mais novo
DICA 3: Subtraindo a idades dos meus irmãos mais velhos, obtemos exatamente a idade do mais novo DICA 4: A idade do mais velho é igual ao triplo da idade do mais novo mais dezoito.
DICA 5: A minha idade é metade do segundo irmão mais velho.
DICA 6: O segundo mais novo é seis anos mais velho que o mais novo. Qual a idade de cada um dos cinco irmãos?​

Answer 1

Sendo as idades dos cinco, do mais novo para o mais velho, representadas por:

$a_1\text{, }a_2\text{, }a_3\text{, }a_4\text{ e }a_5$

Dica 1: Mardefe é o irmão do meio. $a_3$

Dica 2: Somando-se as idades dos irmãos mais velho, obtém-se o quadrado da idade do irmão mais novo:

$a_4+a_5 = a_1^2$

Dica 3: Subtraindo a idade dos irmão mais velhos, obtemos a idade do mais novo:

$a_5 - a_4 = a_1$

Dica 4: A idade do mais velho é igual ao triplo da idade do mais novo mais 18:

$a_5 = 3 \cdot a_1 + 18$

Dica 5: A idade de Mardefe é metade do segundo irmão mais velho:

$a_3 = \dfrac{a_4}{2}$

Dica 6: O segundo mais novo é seis anos mais velho que o mais novo:

$a_2 = a_1 + 6$

Vamos iniciar substituindo $a_5$ na Dica 3 pela expressão na Dica 4:

$a_5 - a_4 = a_1$

$3 \cdot a_1 + 18 - a_4 = a_1$

$3 \cdot a_1 - a_1 + 18 = a_4$

$2 \cdot a_1 + 18 = a_4$

Agora substituimos o $a_4$ na Dica 2 pela expressão acima e $a_5$ pela expressão da Dica 4:

$a_4+a_5 = a_1^2$

$2 \cdot a_1 + 18 + 3 \cdot a_1 + 18 = a_1^2$

Calculamos a idade do mais novo:

$a_1^2 - 5 \cdot a_1 - 36 = 0$

Equação quadrática, encontramos as raízes pela equação de Bháskara:

$a_1 = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Com a = 1, b = -5 e c = -36. Substituindo:

$a_1 = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1}$

$a_1 = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

$a_1 = \dfrac{5 \pm \sqrt{169}}{2}$

$a_1 = \dfrac{5 \pm 13}{2}$

Utilizamos apenas o valor positivo, já que idade não pode ser negativa:

$a_1= \dfrac{5 + 13}{2}$

$a_1= \dfrac{18}{2}$

$\boxed{a_1= 9 \text{ anos}}$

Sabendo a idade do mais novo, podemos calcular a idade do segundo mais velho:

$a_4 = 2 \cdot a_1 + 18$

$a_4 = 2 \cdot 9 + 18$

$a_4 = 18 + 18$

$\boxed{a_4 = 36\text{ anos}}$

Também podemos calcular a idade do mais velho pela Dica 4:

$a_5 = 3 \cdot a_1 + 18$

$a_5 = 3 \cdot 9 + 18$

$a_5 = 27 + 18$

$\boxed{a_5 = 45\text{ anos}}$

Sabendo disso, podemos calcular a idade de Mardefe pela Dica 5:

$a_3 = \dfrac{a_4}{2}$

$a_3 = \dfrac{36}{2}$

$\boxed{a_3 = 18 \text{ anos}}$

Agora nos resta apenas a idade do segundo mais novo. Utilizamos a Dica 6:

$a_2 = a_1 + 6$

$a_2 = 9 + 6$

$\boxed{a_2 = 15 \text{ anos}}$

Ok, então a idade dos cinco, em ordem crescente será:

$9\text{ , } 15 \text{ , } 18 \text{ , } 36 \text{ e } 45 \text{ anos}$