Marcos, apaixonado por matemática, resolveu pedir sua namorada em casamento de uma forma original. Comprou um Tangram (quebra-cabeça) no formato de coração, constituído por nove peças: cinco setores circulares de mesmo raio, um quadrado, um trapézio retângulo, um paralelogramo e um triângulo retângulo, como mostra a figura:Três dos setores têm abertura de 90º, e os outros dois, de 45º.Antes de presenteá-la, no entanto, retirou um dos setores circulares de abertura 90º, como mostra a figura.Sabe-se que esse setor seria recolocado na hora do pedido.Usando π = 3, podemos afirmar que a razão entre a área do setor retirado e a área do quebra-cabeça completo é igual a:
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Olá, as figuras mencionadas na pergunta são as em anexo.
Se observarmos bem, existe um quadrado formado por um quadrado menor e os dois trapézios. Esse quadrado tem lado 2r, em que r é o raio da circunferência. A circunferência tem metade de um lado do coração e outra metade em outro lado do coração. Portanto, a área do coração é:
A = Aq + Ac
Em que Aq é a área do quadrado e Ac é a área do círculo.
A = (2r)² + π*r²
A = 4*r² + π*r²
A = r²*(4+π)
Com π = 3:
A = 7*r²
Considerando o pedaço que foi retirado, que é um quarto do círculo, temos:
A' = π*r²/4
Portanto, a razão A'/A é
Razão = (π*r²/4)/7*r²
Razão = 3/28.
Se observarmos bem, existe um quadrado formado por um quadrado menor e os dois trapézios. Esse quadrado tem lado 2r, em que r é o raio da circunferência. A circunferência tem metade de um lado do coração e outra metade em outro lado do coração. Portanto, a área do coração é:
A = Aq + Ac
Em que Aq é a área do quadrado e Ac é a área do círculo.
A = (2r)² + π*r²
A = 4*r² + π*r²
A = r²*(4+π)
Com π = 3:
A = 7*r²
Considerando o pedaço que foi retirado, que é um quarto do círculo, temos:
A' = π*r²/4
Portanto, a razão A'/A é
Razão = (π*r²/4)/7*r²
Razão = 3/28.
Anexos:
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