Question

(Marck-SP) A soma dos valores de x que sastifazem a igualdade | x2 - x -2| = 2x + 2

Answer 1

$|x^2-x-2|=2x+2$


O lado direito da equação é igual ao módulo de um número real. Como módulo não pode ser negativo, devemos ter necessariamente

$2x+2\ge 0\\\\ 2x\ge -2\\\\ x\ge -1$

( as soluções da equação devem satisfazer esta condição )

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Resolvendo a inequação:

$|x^2-x-2|=2x+2\\\\ x^2-x-2=\pm (2x+2)$

Então temos duas equações a resolver.

$\bullet\;\;$ Caso 1.

$x^2-x-2=2x+2\\\\ x^2-x-2-2x-2=0\\\\ x^2-3x-4=0\\\\ x^2+x-x-3x-4=0\\\\ x^2+x-4x-4=0\\\\ x(x+1)-4(x+1)=0\\\\ (x-4)(x+1)=0\\\\ \begin{array}{rcl} x-4=0&~\text{ ou }~&x+1=0 \end{array}\\\\\ ~~~~~\,\boxed{\begin{array}{rcl} x=4&~\text{ ou }~&x=-1 \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Caso 2.

$x^2-x-2=-(2x+2)\\\\ x^2-x-2=-2x-2\\\\ x^2-x-2+2x+2=0\\\\ x^2+x=0\\\\ x(x+1)=0\\\\ \begin{array}{rcl} x=0&~\text{ ou }~&x+1=0 \end{array} \\\\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=0&~\text{ ou }~&x=-1 \end{array}}$

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Todos os valores encontrados satisfazem a condição $x\ge -1.$ Portanto, o conjunto solução da equação dada é

$S=\{-1,\,0,\,4\}$

de forma que a soma dos valores de $x$ que satisfazem a igualdade é a soma das soluções:

$-1+0+4=3$

Bons estudos! :-)