Question

Marcell desenhou um mapa do quintal de sua casa, onde enterrou um baú com suas economias da semana. Utilizou para isso um sistema de coordenadas retangulares, colocando a origem O na base de uma goiabeira, e os eixos OX e OY com sentidos oeste/leste e sul/norte, respectivamente.

Cada ponto (x, y), nesse sistema, é a representação de um número complexo z = x + iy, x ∈ IR, y ∈ IR e i2 = -1. Para indicar a posição (xm, ym). Marcell escreveu a seguinte observação no canto do mapa: xm + iym = (1+i)11.

As coordenadas (xm, ym) são:

A
(16,16)

B
(32,32)

C
(- 64,64)

D
(- 32,32)

E
(32,-32)

Answer 1

(1+i)^9 = (1+i)^8 . (1+i) = [(1+i)^2]4 . (1+i) = 2i^4 . (1+i) = 16.1 . (1+i) = 16 + 16 i -> x,y = (16,16)
A) x + yi = (1 + i)elevado a 9 

i² = -1

x + yi = (1+i)².(1+i)².(1+i)².(1+i)².(1+i)

(1+i)² = (1+i).(1+i) = (1+2i + i²) = (1 + 2i - 1) = (2i)

x + yi = (2i).(2i).(2i).(2i).(1+i)
x + yi = (16ielevado a 4).(1+i)

ielevado a 4 = i².i² = 1

x + yi = 16 + 16i

(x,y) = (16,16)

Ali é elevado a 9 cara, não a 3... essa questão é da UERJ.
Vou tentar a letra B agora.

Edit:

B) Ai você tem que usar o sistema de coordenadas. Faz ele e marca os pontos (16,16) que vamos chamar de Z. Traça a distância entre a origem O (0,0) e o ponto Z. Formará um triângulo retângulo de hipotenousa d e catetos 16 e 16. 

d² = 16² + 16²
d² = 256 + 256
d² = 512
d = raiz(512)

512 = raiz(2².2².2².2².2) = raiz(4.4.4.4.2) = 2.2.2.2raiz(2) = 16raiz(2)