Question

Marcam-se 5 pontos sobre uma reta
r
r e 8 pontos sobre uma reta
s
s paralela a
r
r . Assinale a alternativa que apresenta o número exato de triângulos que existem com vértices em 3 desses 13 pontos.

Answer 1

=> Para definir um triangulo precisamos de 3 pontos (1 dos pontos não pode ser colinear)

Temos também aqui 2 formas de resolver este problema

1ª Forma:

Calcular quantas "combinações" de 2 pontos de uma reta se podem fazer com um ponto da outra reta ...ou seja:

N = [C(8,2) . C(5,1)] + [C(8,1) . C(5,2)]

N = [(8!/2!(8-2)!) . (5!/1!(5-1)!)] + [(8!/1!(8-1)! . (5!/2!(5-2)!]

N = [(8!/2!6!) . (5!/1!4!)] + [(8!/1!7!) . (5!/2!3!)]

N = [(8.7.6!/2!6!) . (5.4!/1!4!)] + [(8.7!/1!7!) . (5.4.3!/2!3!)]

N = [(8.7/2!) . (5/1!)] + [(8/1!) . (5.4/2!)]

N = [(56/2) . (5/1)] + [(8/1) . (20/2)]

N = [(28) . (5] + [(8) . (10)]

N = (140) + (80)

N = 220 triângulos 

Resposta correta  Opção - D) 220


2ª Forma:

Á semelhança do exercício anterior ...seria calcular quantas combinações de 3 pontos seriam possíveis de fazer a partir dos 13 pontos totais (de 8 + 5 = 13) ...e retirar das 2 retas todas as situações de 3 pontos colineares, assim 

N = [C(13,3)] - [C8,3)] - [C(5,3)]


Espero ter ajudado 

Answer 2

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{{Ola\´\ Aluno(a)}}}}}$

São 5 pontos sobre uma reta R  e 8 pontos sobre uma reta paralela a R , totalizando assim 13 pontos. A questão pede o número de triângulos que existem com vértices nesses pontos.

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Sabemos que para formar um triângulo ,são 3 pontos , portanto temos que combinar , cada ponto marcado a cada reta , veja :

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Fórmula :

Cₐ,ₓ = a!/x!(a-x)!

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C₁₃,₃ = 13!/3!(13-3)!

C₁₃,₃ = 13!/3!*10!

C₁₃,₃ = 13*12*11*10!/3!*10!

C₁₃,₃  = 13*12*11/3*2

C₁₃,₃  = 1716/6

C₁₃,₃ = 286

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286 é o número total de combinações unindo 3 pontos , mas temos subtrair a união de 5 e 8 pontos, ou seja , temos que retirar  os pontos que não formam triângulos , de 5 e 8 pontos.

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N = (C₅,₃) + (C₈,₃)

N = (5!/3!(5-3)!) + (8!/3!(8-3)!)

N = (5!/3!*2!) + (8!/3!*5!)

N = (5*4*3!/3!*2!) + (8*7*6*5!/3!*5!)

N = (5*4/2) + (8*7*6/3*2)

N = (20/2) + (336/6)

N = (10) + (56)

N = 66

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Subtraindo o total de combinações de 3 pontos das combinações de 5 e 8 pontos temos :

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N = 286 - 66

N = 220

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Portanto existem 220 triângulos que existem com vértices nesses pontos.

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Espero ter ajudado!