Question

Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta s paralela a r. Quantos triˆangulos existem com v´ertices em 3 desses 13 pontos?

Answer 1

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{{Ola\´\ Aluno(a)}}}}}$

São 5 pontos sobre uma reta R  e 8 pontos sobre uma reta paralela a R , totalizando assim 13 pontos. A questão pede o número de triângulos que existem com vértices nesses pontos.

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Sabemos que para formar um triângulo ,são 3 pontos , portanto temos que combinar , cada ponto marcado a cada reta , veja :

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Fórmula :

Cₐ,ₓ = a!/x!(a-x)!

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C₁₃,₃ = 13!/3!(13-3)!

C₁₃,₃ = 13!/3!*10!

C₁₃,₃ = 13*12*11*10!/3!*10!

C₁₃,₃  = 13*12*11/3*2

C₁₃,₃  = 1716/6

C₁₃,₃ = 286

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286 é o número total de combinações unindo 3 pontos , mas temos subtrair a união de 5 e 8 pontos, ou seja , temos que retirar  os pontos que não formam triângulos , de 5 e 8 pontos.

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N = (C₅,₃) + (C₈,₃)

N = (5!/3!(5-3)!) + (8!/3!(8-3)!)

N = (5!/3!*2!) + (8!/3!*5!)

N = (5*4*3!/3!*2!) + (8*7*6*5!/3!*5!)

N = (5*4/2) + (8*7*6/3*2)

N = (20/2) + (336/6)

N = (10) + (56)

N = 66

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Subtraindo o total de combinações de 3 pontos das combinações de 5 e 8 pontos temos :

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N = 286 - 66

N = 220

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Portanto existem 220 triângulos que existem com vértices nesses pontos.

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Espero ter ajudado!