Question

marcam-se 3 pontos sobre uma reta r e 4 pontos sobre uma reta paralela a r, o número de triângulos que existem com vértices nesses pontos é?

Answer 1

=> Para definirmos um triângulo necessitamos de 3 pontos (em que pelo menos 1 não seja colinear)

Assim podemos resolver este exercício de 2 formas diferentes:

--> Calculando todas as combinações possíveis de 3 pontos possíveis de fazer com os 7 pontos das 2 retas donde resultará C(7,3) ..subtraindo depois as combinações de 3 pontos de cada reta ...ou seja subtraindo C(4,3) e C(3,3) 

--> Calculando todas as combinações de 2 pontos de uma reta com as combinações de 1 ponto da outra reta e somá-las ...ou seja C(4,2).C(3,1) + C(4,1).C(3,2)

Vamos resolver da 1ª forma:

N = C(7,3) - C(4,3) - C(3,3)

N = (7!/3!(7-3)!) - (4!/3!(4-3)!) - (3!/3!(3-3)!)

N = (7!/3!4!) - (4!/3!1!) - (3!/3!1!)

N = (7.6.5.4!/3!4!) - (4.3!/3!1!) - (1)

N = (7.6.5/3!) - (4/1) - (1)

N = (7.6.5/6) - (4) - (1)

N = (7.5) - (4) - (1)

N = 35 - 4 - 1

N = 30 <--- número de triângulos

Espero ter ajudado

Answer 2

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{{Ola\´\ Aluno(a)}}}}}$

São 3 pontos sobre uma reta R  e 4 pontos sobre uma reta paralela a R , totalizando assim 7 pontos. A questão pede o número de triângulos que existem com vértices nesses pontos.

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Sabemos que para formar um triângulo ,são 3 pontos , portanto temos que combinar , cada ponto marcado a cada reta , veja :

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Fórmula :

Cₐ,ₓ = a!/x!(a-x)!

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C₇,₃ = 7!/3!(7-3)!

C₇,₃ = 7!/3!*4!

C₇,₃ = 7*6*5*4!/3!*4!

C₇,₃ = 7*6*5/3*2

C₇,₃ = 210/6

C₇,₃ = 35

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35 é o número total de combinações unindo 3 pontos , mas temos subtrair a união de 3 pontos , ou seja , temos que retirar  os pontos que não formam triângulos , de 3 e 4 pontos.

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N = C₃,₃ + C₄,₃

N = 3!/3!(3-3)! + 4!/3!(4-3)!

N = 3!/3! + 4!/3!

N = 1 + 4*3!/3!

N = 1 + 4

N = 5

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Subtraindo o total de combinações de 3 pontos das combinações de 3 e 4 pontos temos :

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N = 35 - 5

N = 30

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Portanto existem 30 triângulos que existem com vértices nesses pontos.

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Espero ter ajudado!