Question

Manuel272, Ludeen, Krikor e SuperAks jogam um jogo de estratégia.

Manuel272 e Ludeen estão na mesma equipe, e Krikor e Super constituem a outra.

Manuel, como bom estrategista que é, fala a Ludeen :
"Nós vamos propor à equipe adversária que cada um de nós 4 joguemos dados. Para que eles vençam esse jogo, nenhum dos lançamentos que nós dois fizermos pode coincidir com algum lançamento que eles fizerem. Caso contrário, a vitória é nossa".

Manuel272 espera que, com essa proposta, as chances favoráveis à sua equipe sejam maiores do que 55%. Só que Ludeen faz rapidamente o cálculo mental para ver se a proposta é realmente favorável à sua equipe.

Ludeen deve aprovar ou não a proposta de Manuel, baseando-se na porcentagem favorável estipulada pelo mesmo?

Answer 1

Manuel afirma que a probabilidade de pelo menos 1 das 2 jogadas de sua equipe coincida com algum dos dois lançamentos do adversário é maior que 55%.

Assim, vamos analisar as seguintes situações:

Caso 1:

Os lançamentos de Krikor e Superaks são distintos:

Nesse caso há uma chance de 1/3 em cada lançamento da equipe de Manuel de coincidir com os lançamentos do adversário, e 5/9 dos dois lançamentos, pelo seguinte cálculo:

5/9 = 1-(1-1/3)*(1-1/3)

*Multiplica-se as duas chances de erro; 66% e inverte novamente para calcular a chance de acerto total.

Nesse primeiro caso, a chance do segundo lançamento (Da equipe de SuperAks) ser diferente do primeiro da mesma equipe é de 5/6, então o segundo caso acontece apenas em 1/6 das vezes.

Segundo caso:

Os lançamentos de Krikor e SuperAks são iguais.

Assim a probabilidade de cada lançamento é de 1/6 e dos dois, seguindo o mesmo método, é de 11/36.

Assim a probabilidade de vitória da equipe de Manuel será de:

$P=\frac{5}{6}*\frac{5}{9}+\frac{1}{6}*\frac{11}{36}\\\\P=\frac{25}{54}+\frac{11}{216}\\\\P=\frac{111}{216}\\\\P=51.3\overline{8}\ \%$

Então Ludden pode aprovar a proposta de Manuel por suas chances de sucesso serem maiores que 50%, porém não será tão vantajoso o quanto Manuel propôs.

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A explicação para a resposta 5/9 pode ser obtida separando o caso 1 em 2 casos distintos e usando a mesma junção de probabilidades da resolução:

Caso 1.1

Manuel faz o primeiro lançamento e acerta:

1/3 de acontecer.

Caso 1.2

Manuel erra o primeiro lançamento, mas Ludeen acerta:

Chance do Manuel errar: 2/3
Chance de Ludeen acertar: 1/3

Multiplicando as duas probabilidades dará 2/9, pois são dois eventos que obrigatoriamente devem ocorrer de forma independente.

Por fim, somando 2/9 com 1/3 dará o resultado 5/9.

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