Question

Mais uma de derivada...

encontre a 1000^a derivada de f(x)=xe^-x

Answer 1

OI, tem esse 1000^a mesmo?
A derida de f(x)=xe^-x é
f'(x)=$e^{-x}$+x(-$e^{-x}$
f'(x)=$e^{-x}(1-x)$
Entendi, acho que vc quis dizer: $1000^{f'(x)}$

Answer 2

Neste tipo de questão basta derivar até perceber um padrão:

F'(x) = (x)' . $e^{-x}$ + x . ($e^{-x}$)' ⇒ F'(x) = 1 . $e^{-x}$ + x . $e^{-x}$ . (-1) ⇒ F'(x) = $e^{-x}$(1 -x)

F"(x) = ($e^{-x}$)' .(1 - x) + $e^{-x}$ . (1 - x)' ⇒  $e^{-x}$ . (-1) . ( 1 - x) + $e^{-x}$ . (-1) ⇒ -$e^{-x}$ . (2 -x)

F'"(x) = (-$e^{-x}$)' .(2 - x) + (-$e^{-x}$) . (2 - x)' ⇒  (-$e^{-x}$) . (-1) . ( 2 - x) + (-$e^{-x}$) . (-1) ⇒ $e^{-x}$ . (3 -x)

$F^{4}[tex](x) = ([tex]e^{-x}$)' .(3 - x) + $e^{-x}$ . (3 - x)' ⇒  $e^{-x}$ . (-1) . (3  - x) + [/ex]e^{-x}[/tex] . (-1) ⇒ -$e^{-x}$ . (4 -x)

Apenas com essas derivadas é possível perceber o padrão:

$F^{n}$(x) = B . $e^{-x}$ ( n - x) >>> B sendo um se n for ímpar (2K +1)  e B sendo -1  se n for par (2k);

Então:

$F^{1000}$(x) = -e^{-x} ( 1000 - x)