Question

MAIS UM DESAFIO DE PROBABILIDADES

Considerando a probabilidade de ocorrência do evento “n” definida pela expressão:

P(n = a) = [1/2]^a

Sendo a = [Conjunto dos números Naturais > 0 ]


A) - Indique a probabilidade a de ocorrência do evento “n = número PAR”

Answer 1

Sendo

$\mathtt{a\in\mathbb{N^{*}}}$

$\mathtt{P(n=a)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\!a}}$

_______

Queremos encontrar a probabilidade da ocorrência do seguinte evento:

$\mathtt{E=\{a\in\mathbb{N}^{*}:~\texttt{a \'e par}\}}\\\\ \mathtt{E=\{a\in\mathbb{N}^{*}:~a=2k,~~com~k\in\mathbb{N}^{*}\}}\\\\ \mathtt{E=\{2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots,\,2k,\,\ldots\}}$


A probabilidade pedida é

$\displaystyle\mathtt{P(n\in E)}\\\\ =\mathtt{P(n=2)+P(n=4)+P(n=6)+\ldots+P(n=2k)+\ldots}\\\\ =\mathtt{\sum_{k=1}^\infty P(n=2k)}\\\\\\ =\mathtt{\sum_{k=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\!2k}}\\\\\\ =\mathtt{\sum_{k=1}^{\infty}\bigg[\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\!2}\bigg]^k}\\\\\\ =\mathtt{\sum_{k=1}^\infty \left(\dfrac{1}{4}\right)^{\!k}\quad\quad(i)}$

_______

A soma acima é a soma de uma progressão geométrica infinita, com razão $\mathtt{q=\dfrac{1}{4}}.$


Como $\mathtt{|q|<1},$ a soma converge:

$\displaystyle\mathtt{\sum_{k=1}^\infty q^k=\dfrac{q}{1-q}}\quad\quad\texttt{com }\mathtt{-1<q<1}.$

_______

Voltando a $\mathtt{(i)},$ usando o resultado acima para $\mathtt{q=\dfrac{1}{4}},$ temos que a probabilidade pedida é

$\displaystyle\mathtt{\sum_{k=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\!k}}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}}\\\\\\ =\mathtt{\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}\cdot \frac{4}{4}}\\\\\\ =\mathtt{\frac{1}{4-1}}\\\\\\ =\mathtt{\frac{1}{3}\quad\quad\checkmark}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

=> Para a = 2:

$\sf P(n=a)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^a$

$\sf P(n=2)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2$

$\sf P(n=2)=\dfrac{1}{4}$

=> Para n = 4:

$\sf P(n=a)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^a$

$\sf P(n=4)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^4$

$\sf P(n=4)=\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^2$

=> Para n = 6:

$\sf P(n=a)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^a$

$\sf P(n=6)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^6$

$\sf P(n=6)=\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^3$

=> Para n = 8:

$\sf P(n=a)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^a$

$\sf P(n=8)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{8}$

$\sf P(n=8)=\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^4$

=> Para n = 10:

$\sf P(n=a)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^a$

$\sf P(n=10)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{10}$

$\sf P(n=10)=\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^5$

A probabilidade de ocorrência do evento “n = número PAR” é:

$\sf P=P(n=2)+P(n=4)+P(n=6)+P(n=8)+P(n=10)+\dots$

$\sf P=\dfrac{1}{4}+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^2+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^3+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^4+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^5+\dots$

Temos uma PG infinita, com $\sf a_1=\dfrac{1}{4}~e~q=\dfrac{1}{4}$

A soma dos termos de uma PG infinita é dada por:

$\sf S=\dfrac{a_1}{1-q}$

Assim:

$\sf P=\dfrac{1}{4}+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^2+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^3+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^4+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^5+\dots$

$\sf P=\dfrac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}$

$\sf P=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{4-1}{4}}$

$\sf P=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}$

$\sf P=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{4}{3}$

$\sf \red{P=\dfrac{1}{3}}$