Matemática, perguntado por manuel272, 1 ano atrás

MAIS UM DESAFIO DE PROBABILIDADES


Considerando a probabilidade de ocorrência do evento “n” definida pela expressão:

P(n = a) = [1/2]^a

Sendo a = [Conjunto dos números Naturais > 0 ]


A) - Indique a probabilidade a de ocorrência do evento “n = número PAR”

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
5
Sendo

\mathtt{a\in\mathbb{N^{*}}}

\mathtt{P(n=a)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\!a}}

_______

Queremos encontrar a probabilidade da ocorrência do seguinte evento:

\mathtt{E=\{a\in\mathbb{N}^{*}:~\texttt{a \'e par}\}}\\\\ \mathtt{E=\{a\in\mathbb{N}^{*}:~a=2k,~~com~k\in\mathbb{N}^{*}\}}\\\\ \mathtt{E=\{2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots,\,2k,\,\ldots\}}


A probabilidade pedida é

\displaystyle\mathtt{P(n\in E)}\\\\ =\mathtt{P(n=2)+P(n=4)+P(n=6)+\ldots+P(n=2k)+\ldots}\\\\ =\mathtt{\sum_{k=1}^{\infty}P(n=2k)}\\\\\\ =\mathtt{\sum_{k=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\!2k}}\\\\\\ =\mathtt{\sum_{k=1}^{\infty}\bigg[\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\!2}\bigg]^k}\\\\\\ =\mathtt{\sum_{k=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\!k}\quad\quad(i)}

_______

A soma acima é a soma de uma progressão geométrica infinita, com razão \mathtt{q=\dfrac{1}{4}}.


Como \mathtt{|q|<1}, a soma converge:

\displaystyle\mathtt{\sum_{k=1}^\infty q^k=\dfrac{q}{1-q}}\quad\quad\texttt{com }\mathtt{-1<q<1}.

_______

Voltando a \mathtt{(i)}, usando o resultado acima para \mathtt{q=\dfrac{1}{4}}, temos que a probabilidade pedida é

\displaystyle\mathtt{\sum_{k=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\!k}}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}}\\\\\\ =\mathtt{\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}\cdot \frac{4}{4}}\\\\\\ =\mathtt{\frac{1}{4-1}}\\\\\\ =\mathtt{\frac{1}{3}\quad\quad\checkmark}


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)


Lukyo: Caso tenha problemas para visualizar a resposta, experimente abrir pelo navegador: http://brainly.com.br/tarefa/7003092
manuel272: Mais uma excelente resposta ...só falta o "video" ...porque aula já ela é!!!
Lukyo: =)
Respondido por Usuário anônimo
6

Explicação passo-a-passo:

=> Para a = 2:

\sf P(n=a)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^a

\sf P(n=2)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2

\sf P(n=2)=\dfrac{1}{4}

=> Para n = 4:

\sf P(n=a)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^a

\sf P(n=4)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^4

\sf P(n=4)=\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^2

=> Para n = 6:

\sf P(n=a)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^a

\sf P(n=6)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^6

\sf P(n=6)=\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^3

=> Para n = 8:

\sf P(n=a)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^a

\sf P(n=8)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{8}

\sf P(n=8)=\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^4

=> Para n = 10:

\sf P(n=a)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^a

\sf P(n=10)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{10}

\sf P(n=10)=\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^5

A probabilidade de ocorrência do evento “n = número PAR” é:

\sf P=P(n=2)+P(n=4)+P(n=6)+P(n=8)+P(n=10)+\dots

\sf P=\dfrac{1}{4}+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^2+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^3+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^4+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^5+\dots

Temos uma PG infinita, com \sf a_1=\dfrac{1}{4}~e~q=\dfrac{1}{4}

A soma dos termos de uma PG infinita é dada por:

\sf S=\dfrac{a_1}{1-q}

Assim:

\sf P=\dfrac{1}{4}+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^2+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^3+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^4+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^5+\dots

\sf P=\dfrac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}

\sf P=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{4-1}{4}}

\sf P=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}

\sf P=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{4}{3}

\sf \red{P=\dfrac{1}{3}}

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