Question

magine a seguinte situação: ao estudar a variação de temperatura em um lago em uma região fria nos Estados Unidos, um pesquisador chegou a um modelo matemático dado por , em que o tempo corresponde ao intervalo de [0, 24] horas, sendo atemperatura medida em Celsius.

Qual é o valor da temperatura média no lago no intervalo de tempo entre 6 horas da manhã e 16 horas?
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Answer 1

O valor da temperatura média no lago no intervalo de tempo entre 6 horas da manhã e 16 horas da tarde será -5,22ºC

O modelo matemático que o pesquisador encontrou foi $T(t)=3-\frac{2}{3}(t-13)^2$

No intervalo de tempo entre 6 horas da manhã e 16 horas da tarde, a média será a soma dos valores de temperatura dividido pelo número de horas.

assim, a média será $\sum_{i=6}{15}T(t_i)$

portanto teremos

$Soma=3-\frac{2}{3}(6-13)^2+3-\frac{2}{3}(7-13)^2+3-\frac{2}{3}(8-13)^2+...+3-\frac{2}{3}(15-13)^2$

efetuando as somas dentro dos parenteses

$Soma=3-\frac{2}{3}(-7)^2+3-\frac{2}{3}(-6)^2+3-\frac{2}{3}(-5)^2+...+3-\frac{2}{3}(2)^2$

observe que podemos fatorar o valor 3 que sempre é somado

$Soma=(3+3+3+...+3)-\frac{2}{3}(-7)^2-\frac{2}{3}(-6)^2-\frac{2}{3}(-5)^2-...-\frac{2}{3}(2)^2$

$Soma=(10*3)-\frac{2}{3}(-7)^2-\frac{2}{3}(-6)^2-\frac{2}{3}(-5)^2-...-\frac{2}{3}(2)^2$

Observe também que o fator $-\dfrac{2}{3} pode ser fatorado pra fora da soma:</p><p></p><p>[tex]Soma=(10*3)-\frac{2}{3}(+(-7)^2+(-6)^2+(-5)^2+...+(2)^2)$

Como a soma começa do numero -7 e vai até +3, podemos escrever como somatório novamente:

$Soma=(10*3)-\frac{2}{3}\sum_{i=-7}^2(i)^2$

O resultado deste somatório será

$\sum_{i=-7}^3(i)^2=145$

e a soma total será $30-\dfrac{2}{3}*145$

E a média será $\dfrac{30-\dfrac{2}{3}*145}{10}=\dfrac{30-96,6666....}{10}=3-9,6666...=6,6666...$