Question

(Mackenzie) Um segmento de reta de
comprimento 8 movimenta-se no plano mantendo
suas extremidades P e Q apoiadas nos eixos 0x e 0y,
respectivamente. Entre os pontos do lugar geométrico
descrito pelo ponto médio de PQ, o de maior
ordenada possui abscissa:
a) - 2.
b) - 1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
Sei que a resposta é C, quero saber o porquê.

Answer 1

Boom Diaa!
Sim, Exatamente.. a Resposta é a Letra C..
Mas Vamos Entender..

Há Uma Reta, De Comprimento 8 Ou Seja:
-3
-2
-1
0 ----( x e y se encontram aqui )
1
2
3
4

O x e o y estao Na Origem (0,0)..
O Ponto Médio é o Ponto que se Encontra Entre o Ponto x e y Numa Reta.. Exemplo: ( x= 4 / y = 2 .. O Ponto Medio será 3, Pois está entre o x e o y.. )

Mas Na Questao Proposta.. o x e o y se encontram na Origem.. Entao Consequentemente, Oque Fica Entre 0 e 0.. Nada.. Ou Seja, O Proprio 0..

Resposta: Letra C (0)

Answer 2

Resposta:

(C)

Explicação passo-a-passo:

Temos que o segmento tem $8cm$, logo podemos começar com $P$ e $Q$ fixos em $-4 \sqrt{2}$, formando um triângulo retângulo isósceles. Devemos encontrar a distância do ponto médio desse segmento (localizado em $M(-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$) até a origem $(0,0)$.

(Irei fazer com semelhança de triângulos)

O semento $\overline{MO}$ é perpendicular ao segmento de $8cm$, assim como seu ponto médio. Também $\triangle MOQ \equiv \triangle MOP$, pelo caso LLL. Como $\triangle MOQ$ é retângulo, $MQ = MP = 4$ e $OQ = 4\sqrt{2}$, temos que $\overline{MO} = 4$, pois a hipotenusa é igual a $l\sqrt{2}$.

Agora, devemos ver a projeção de $M$ sobre $0x$ e $0y$, de modo que seu valor seja o maior possível em módulo. É fácil ver que isso ocorre para $x(-8,0)$ e $y(0,-8)$, nos dando as projeções $M_{x}(-4,0)$ e $M_{y}(0,-4)$. Com essas informações, temos que a distância de $M$ até o centro é sempre 4, logo o lugar geométrico de $M$ é uma circunferência de raio 4 e centro (0,0).

Portanto o lugar geométrico de $M$ é descrito por $x^{2} + y^{2} = 16$ e o maior valor de sua ordenada é $y = 4$, que nos dá $x = 0$.