(Mackenzie-SP) Para que a equação X^2+4x-8senx=0 tenha, em x, duas raízes reais e distintas, x poderá assumir todos os valores só intervalo:
????
Soluções para a tarefa
b²-4.ac>0
(4)² -4.1.8senx>
16-32.senx>0
-32.senx>-16
senx<1/2
x= [0°,30°[
x pode assumir valores tais que 2π/3 ≤ x ≤ 5π/6. Letra d).
As alternativas da questão são:
a) [5π/3 , 11π/6]
b) [π , 4π/3]
c) [4π/3 , 3π/2]
d) [2π/3 , 5π/6]
e) [5π/3 , 2π]
Para que uma equação do segundo grau possua duas raízes reais e distintas a condição seguinte deve ser obedecida:
Δ > 0
, ou seja:
b² - 4ac > 0
No nosso caso, o termo senx faz parte de "c", pois facilita os cálculos. Deste modo:
4² - 4*1*(-8senθ) > 0
16 + 32senθ > 0
32senθ > - 16
senθ > - 1/2
Basta analisarmos cada alternativa para descobrirmos a que condiz:
a) [5π/3 , 11π/6]
Vamos ver o seno dos valores:
sen(5π/3) = -0,866
, que é menor do que -0,5, portanto é inválido.
b) [π , 4π/3]
Vamos ter:
senπ = 0
sen(4π/3) = -0,866
Novamente, é inválido.
c) [4π/3 , 3π/2]
Temos:
sen(4π/3) = -0,866
Inválido.
d) [2π/3 , 5π/6]
Tem-se:
sen(2π/3) = 0,866
sen(5π/6) = 0,5
Ambos maiores que -0,5, logo é a alternativa correta.
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