Question

(Mackenzie-SP) Observe o esquema ao lado. Suponha que a esfera A seja abandonada na posição em que $\theta$ = 90°. São dados: massa de A = 4,0 kg; massa de B = 2,0 kg; coeficiente de atrito entre B e o plano horizontal = 0,20; coeficiente de restituição do choque entre A e B = 0,50.
Após a colisão, o bloco B percorre no plano horizontal uma distância igual a:

a) 3 m
b) 6 m
c) 9 m
d) 5 m
e) 4 m

Answer 1

Fórmulas ⇒
Epg = m * g * ΔH
Epg → Energia potencial gravitacional;
m → Massa;
g → Ac. gravidade;
ΔH → Variação de altura...

Ec = m * v² / 2
Ec → Energia cinética;
m → Massa;
v → Velocidade;

Q = m * v
Q → Quantidade de movimento;
m → Massa;
v → Velocidade...

e = (vf(B) - vf(A)) / (vi(A) - vi(B)) 
e → Coeficiente de restituição;
vf(B) → Velocidade de B após a colisão;
vf(A) → Velocidade de A após a colisão;
vi(B) → Velocidade de B antes a colisão;
vi(A) → Velocidade do A antes da colisão;

w = F * ΔS
w → Trabalho;
F → Força;
ΔS → Deslocamento;

Fat = N * μ
Fat → Força de atrito;
N → Normal de contato da superfície;
μ → Coeficiente de atrito...
------------------------------------------------------------------------------------------------------Podemos dizer que, imediatamente antes do choque, a energia mecânica de A se conserva.

Inicialmente, A tem só Epg (a uma altura L = 1,8 m). Imediatamente antes do choque, A só tem Ec. Assim, para A :

Epg = Ec
m * g * ΔH = m * v² / 2 ⇒ "Corta" m :
g * ΔH = v² / 2

Sendo ⇒
g = 10 m/s²;
ΔH → L = 1,8 m;
v = ???...

10 * 1,8 = v² / 2
18 * 2 = v²
v² = 36
v = √36
v = 6 m/s ⇒ Velocidade de A imediatamente antes de colidir-se ! (descarta-se a raiz negativa).

Na colisão, a quantidade de movimento do sistema (A + B) se conserva. Ou seja :

Q (inicial) = Q (final)

mA * vi(A) + mB * vi(B) = mA * vf(A) + mB * vf(B)

Ainda temos o coef. de restituição :
e = (vf(B) - vf(A)) / (vi(A) - vi(B)) 

Substituindo alguns dados ⇒
mA = 4 Kg;
mB = 2 Kg;
vi(A) = 6 m/s (imediatamente antes da colisão);
vi(B) = 0 m/s (estava parado);
e = 0,5...

Em mA * vi(A) + mB * vi(B) = mA * vf(A) + mB * vf(B) ⇒

4* 6 + 2 * 0 = 4 * vf(A) + 2 * vf(B)

24 = 4 * vf(A) + 2 * vf(B)

24 = 2 * (2 * vf(A) + vf(B))

(2 * vf(A) + vf(B)) = 24 / 2

(2 * vf(A) + vf(B)) = 12 ⇒ Primeira relação !
----------------------------------------------------------
Em e = (vf(B) - vf(A)) / (vi(A) - vi(B)) ⇒

0,5 = (vf(B) - vf(A)) / (6 - 0)

0,5 =  (vf(B) - vf(A)) / 6 

(vf(B) - vf(A))  = 6 * 0,5

(vf(B) - vf(A)) = 3 ⇒ Segunda relação !

Resolvendo o sistema por subtração:
{2 * vf(A) + vf(B) = 12 
{vf(B) - vf(A) = 3         -
-------------------------------
2 * vf(A) -(- vf(A)) = 9
3 * vf(A) = 9
vf(A) = 3 m/s ⇒ Velocidade da bolinha após a colisão !

E, por consequência :
vf(B) - 3 = 3
vf(B)  = 6 m/s ⇒ Velocidade do bloquinho após a colisão !

B recebe energia cinética após a colisão. Só que o atrito (dissipativo) toda dissipa essa energia na forma de trabalho. O deslocamento que o atrito "precisa" para dissipar toda a energia é o quanto o bloco anda na horizontal.

Como o trabalho do atrito (wFat) dissipa toda a Ec do bloco, então :

wFat = Ec ⇒ "Abrindo" as fórmulas :

Fat * ΔS = m * v² / 2

N * μ * ΔS = m * v² / 2

Em um plano horizontal, a normal tem mesmo módulo que o peso (P = m * g) :

m * g * μ * ΔS = m * v² / 2 ⇒ "Corta"  m :

g *  μ * ΔS = v² / 2 

Dados ⇒ 
g = 10 m/s²;
μ = 0,2;
ΔS = ?...
v →vf(B) = 6 m/s (que ele recebe da colisão)...

10 * 0,2 * ΔS = 6² / 2

2 * ΔS = 36 / 2

ΔS  = 36 / 4

ΔS = 9 metros ⇒ O quanto B desloca-se no plano (logo, alternativa "c)")!

Answer 2

$\rightarrow Por \ n\tilde{a}o \ estar \ expl\acute{i}cito \ no \ enunciado \ adotaremos \ a \\ resist\hat{e}ncia \ do \ ar \ como \ nula \ . \\ \rightarrow Como \ a \ esfera \ A \ ser\acute{a} \ lan\c{c}anda \ com \ \theta \ = \ 90^\circ \ ( ou \ seja \\ paralela \ ao \ solo \ ) \ , \ temos \ que \ a \ altura \ que \ a \ mesma \ lan\c{c}ada \\ ser\acute{a} \ igual \ ao \ comprimento \ do \ fio \ . \ Logo \ , \ temos \ que \ h \ = \ 1,8 \ m \ .$

$\rightarrow \ Pelo \ Princ\acute{i}pio \ da \ Conserva\c{c}\tilde{a}o \ de \ Energia \ , \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \boxed{\boxed{E_M_x \ = \ E_M_y}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (i) \\ \\ \\ \rightarrow \ Onde \ E_M \ representa \ a \ energia \ mec\hat{a}nica \ do \ sistema \ ; \ x \ , \ y \\ representa \ a \ an\acute{a}lise \ da \ energia \ em \ duas \ situa\c{c}\tilde{o}es \ distintas \ . \\ \\ \rightarrow A \ energia \ mec\hat{a}nica \ pode \ ser \ calculada \ por \ , \\ \\ \boxed{E_M \ = \ E__C \ + \ E_P}$

$\rightarrow Onde \ E_P \ representa \ a \ energia \ potencial \ gravitacional \ ; e \\ E_C \ a \ energia \ cin\acute{e}tica . \\ \rightarrow \ E_C \ e \ E_P \ podem \ ser \ calculados \ , \ respectivamente , \ por \ , \\ \\ \boxed{E_C \ = \ \frac{m.v^2}{2} } \ \ \ \ \ \ e \ \ \ \ \ \ \boxed{E_P \ = \ m.g.h} \\ \\ \\ \rightarrow \ Onde \ m \ representa \ a \ massa \ do \ corpo \ ; \ v \ a \\ velocidade \ relativa \ do \ corpo \ ; e \ h \ a \ altura \ relativa \ do \ corpo \ .$

$\rightarrow \ Retomando \ a \ (i) \ , \ temos \ que \ : \\ \\ E_M_x \ = \ E_M_y \\ E_C_x + \ E_P_x \ = \ E_C_y \ + \ E_P_y \\ \\ \rightarrow \ Na \ situa\c{c}\tilde{a}o \ x \ temos \ que \ V_x' \ = \ 0 \ m/s \ ( solto \ a \ partir \ do \\ repouso) \ ; \ e \ na \ situa\c{c}\tilde{a}o \ y \ temos \ que \ h \ \ = \ 0 \ m \ .$

$\frac{m.v_x^2}{2} \ + \ m.g.h_x \ = \ \frac{m.v_y^2}{2} \ + \ m.g.h_y \\ \frac{m.(0)^2}{2} \ + m.(10).(1,8) \ = \ \frac{m.v_y^2}{2} \ + \ m.g.(0) \\ 2.m.(1,8).(10) \ = \ m.v_y^2 \\ v_y \ = \ 6 \ m/s$

$\rightarrow \ Pelo \ fato \ do \ coeficiente \ de \ restitui\c{c}\tilde{a}o \ ser \ diferente \ de \\ zero \ e \ de \ um \ temos \ uma \ colis\tilde{a}o \ parcialmente \ el\acute{a}stica \ . \\ \rightarrow \ A \ velocidade \ do \ corpo \ A \ apos \ o \ impacto\ ent\tilde{a}o \ \\ pode \ ser \ calculada \ por \ : \\ \\ \\ \boxed{\boxed{e \ = \frac{v_{depois}}{v_{antes}} }} \\ \\ \\ 0,5 \ = \ \frac{v_{depois}}{6} \\ v_{depois} \ = \ 3 \ m/s$

$\rightarrow \ Sendo \ v_{depois} \ representada \ agora \ v_A' \ . \ Logo \ , \ v_A' \ = \ 3 \ m/s$

$\ Para \ descobrir \ a \ velocidade \ que \ o \ corpo \ B \ ir\acute{a} \ adquiri \\ apos \ a \ colis\tilde{a}o \ utilizaremos \ o \ Princ\acute{i}pio \ da \ Conserva\c{c}\tilde{a}o \\ de \ Movimento \ , \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\Delta Q \ = \ O}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (ii) \\ \\ \\ Assim \ , \ temos \ que \ : \\ \\ Q' \ = \ Q'' \\ \\ \rightarrow Onde \ Q \ representa \ a quantidade \ de \ movimento \ ; \ e \ Q' \ e \ Q'' \\ as \ situa\c{c}\tilde{o}es \ analisadas$

$m_a \ . \ v_a' \ + \ m_b\ . \ v_b' \ = \ m_a \ . \ v_a'' \ + \ m_b \ . \ v_b''$

$\rightarrow \ Temos que \ v_b' \ = \ 0 \ m/s \ por \ estar \ em \ repouso \ sobre \ o \ plano , \\ logo : \\ \\ 4.(6) \ + \ 2.(0) \ = \ 4.(3) \ + \ 2.(v_b'') \\ v_b'' \ = \ 6 \ m/s$

$\rightarrow \ Para \ descobrirmos \ a \ dist\hat{a}ncia \ percorrida \ pelo \ corpo \ B \\ apos \ colis\tilde{a}o \ recorreremos \ ao \ Teorema \ da \ Energia \ Cin\acute{e}tica \ , \\ \\ \boxed{\boxed{T_E_C \ = \ \Delta E_C }} \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \boxed{\boxed{T_E_C \ = \ E_C_f - E_C_i}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (iii)$

$\rightarrow Sendo \ T_E_C \ = \ T \ = \ F \ . d \ . \ cos \ \theta$

$\rightarrow \ Onde \ F \ representa \ a \ forc\{c}a \ analisada \ ; \ d \ a \ dist\hat{a}ncia \\ percorrida \ ; \ e \ \theta \ o \ \hat{a}ngulo \ entre \ a \ for\c{c}a \ e \ o \ sentido \ do \\ deslocamento \\ \\ \rightarrow \ Nessa \ quest\tilde{a}o \ em \ si \ adotaremos \ o \ trabalho \ da \ for\c{c}a \\ resultante \ que \ \acute{e} \ a for\c{c}a \ de \ atrito \ ( F_A_T) \ .$

$\rightarrow Tendo \ isso \ em \ vista , \ o \ \hat{a}ngulo \ \theta \ entre \ a \ for\c{c}a \ resultante \\ e \ o \ deslocamento \ \acute{e} \ 180^\circ \\ \\ \rightarrow \ Retomando \ a \ (iii) \ , \\ \\ T_E_C \ = \ \Delta E_C \\ F_R \ . \ d . \ cos \theta \ = \ \frac{m \ . \ v_f^2}{2} \ - \ \frac{m \ . v_i^2}{2}$

$\rightarrow \ Lembrando \ que \ v_i \ = v_b'' \ = \ 6 \ m/s \ ; \ e \ que \ v_f \ = \ 0 \ m/s \\ \\ F_A_T \ . \ d \ . \ cos \ \theta \ = \ \frac{m \ . \ (0)^2}{2} - \frac{m \ . \ (6)^2}{2} \\ \mu \ . \ m_B \ . \ g \ . \ d \ . \ (-1) . 2 = \ m \ . \ 36 \ . \ (-1) \\ 0,2 \ . \ . \ 10 \ . \ d \ . \ 2 \ = \ 36 \\ d \ = \ 9 \ metros \\ \\ \boxed{d \ = \ 9 \ metros \ \ , \ letra \ c}$