Question

(MACKENZIE-SP) As funções f(x)= 3-4x e g(x)= 3x + m são tais que f(g(x)) = g(f(x)), qualquer que seja x real. O valor de m é?

Answer 1

Oi

f(x)=3-4x
g(x)=3x+m

f(g(x))=g(f(x))

f(g(x))=3-4(3x+m) =
f(g(x))=3-12x-4m

g(f(x))=3(3-4x)+m
g(f(x))=9-12x+m

f(g(x))=g(f(x))
3-12x-4m=9-12x+m==>separa as incógnitas
-4m-m=-3+12x+9-12x==>elimina os (-/+12x)
-5m = 6==>(-1) a incógnita não pode ser negativa.
5m=-6
m=-6/5

Bons estudos

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "m" de modo que "f(g(x))" seja igual à "g(f(x))" é:

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf m = -\frac{6}{5}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam as funções polinomiais:

                          $\Large\begin{cases} f(x) = 3 - 4x\\g(x) = 3x + m\\f(g(x)) = g(f(x))\\m = \:?\end{cases}$

Organizando as equações temos:

                           $\Large\begin{cases} f(x) = - 4x + 3\\g(x) = 3x + m\\f(g(x)) = g(f(x))\\m = \:?\end{cases}$

Sabendo que "f(g(x))" é igual a "g(f(x))", então devemos calcular o valor de "m". Então, temos:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(g(x)) = g(f(x))\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} -4\cdot g(x) + 3 = 3\cdot f(x) + m\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} -4\cdot(3x + m) + 3 = 3\cdot(-4x + 3) + m\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} -12x - 4m + 3 = -12x + 9 + m\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} -12x - 4m + 12x - m = 9 - 3\end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} -5m = 6\end{gathered}$

                                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} m = -\frac{6}{5}\end{gathered}$

✅ Portanto, o valor do parâmetro "m" é:

                                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} m = -\frac{6}{5}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$