Question

(Mackenzie-SP 2015) A soma das raízes da equação cos 2x + cos 4x = 0, no intervalo [0,π ] é? (Respondam em detalhes por favor)

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se a soma das raízes da equação abaixo, sabendo-se que o intervalo é de "0º até 180º",  ou seja, o intervalo é este: [0; π]:

cos(2x) + cos(4x) = 0 ----- note que poderemos transformar esta soma em produto..

Antes veja que: cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]*cos[(a-b)/2]

Assim, transformando em produto a soma acima, teremos isto:

cos(2x) + cos(4x) = 2cos[(2x+4x)/2]*cos[(2x-4x)/2]
cos(2x) + cos(4x) = 2cos[(6x/2]*cos[(-2x)/2]
cos(2x) + cos(4x) = 2cos(3x)*cos(-x) ----- note que cos(-x) = cos(x). Então:
cos(2x) + cos(4x) = 2cos(3x)*cos(x)

Como já vimos qual é o equivalente a cos(2x) + cos(4x), então vamos trabalhar apenas com o equivalente em produto, igualando-o a zero, pois a expressão original está igualada a zero [cos(2x)+cos(4x) = 0]. Assim:

2cos(3x)*cos(x) = 0
cos(3x)*cos(x) = 0/2
cos(3x)*cos(x) = 0 ---- veja que temos aqui o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
cos(3x) = 0      . (I)

ou
cos(x) = 0      . (II)

Vamos trabalhar com as expressões (I) e (II) acima

i) Para cos(3x) = 0 ----- veja que o cos(x) = 0 nos arcos de 90º e de 270º. Mas como o intervalo dado é de [0; π] = [0º; 180º], então descartaremos a hipótese do "270º" e ficamos apenas com os 90º, ]
Assim, se o cosseno é igual a zero no arco de 90º, então teremos que:

3x = 90º
x = 90º/3
x = 30º (ou π/6)

-Mas veja que cos(30º) = -cos(150º). E como o arco de "150º" ainda está dentro do intervalo dado [0; π], então ainda teremos que experimentar esta hipótese:

x = 150º (ou 5π/6).

ii) Para cos(x) = 0, teremos que o arco "x" será:

x = 90º (ou π/2).

iii) Assim, as raízes serão estas, no intervalo dado [0º; π]:

x' = π/6
x'' = π/2
x''' = 5π/6

iv) Finalmente, vamos para a soma pedida das raízes. Assim, chamando essa soma de "S", teremos;

S = π/6 + π/2 + 5π/6 ----- mmc = 6. Assim:
S = (1*π + 3*π + 1*5π)/6
S = (π + 3π + 5π)/6
S = (9π)/6 --- ou :
S = 9π/6 ---- simplificando-se numerador e denominador por "3", teremos:
S = 3π/2  <--- Esta é a resposta. Esta é a soma pedidas das raízes.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.