Question

(MACKENZIE) Se cos 15º, cos(a) e cos 75º formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, o valor de cos(a) é

Answer 1

Sabemos que cos(a) eh o ponto medio entre as duas funcoes entao:

$\cos a=\dfrac{\cos15^\circ+\cos75^\circ}{2}$

Sabemos tb que:

$\cos15^\circ=\cos(60^\circ-45^\circ)\\\\\cos75^\circ=\cos(30^\circ+45^\circ)$

Entao podemos usar as formulas de soma de angulos que conhecemos e amamos:

$\cos a=\dfrac{\cos15^\circ+\cos75^\circ}{2}\\\\\\\cos a=\dfrac{\cos(60^\circ-45^\circ)+\cos(30^\circ+45^\circ)}{2}\\\\\\\cos a=\dfrac{\cos60^\circ\cos45^\circ+\sin60^\circ\sin45^\circ+\cos30^\circ\cos45^\circ-\sin30^\circ\sin45^\circ}{2}\\\\\\2\cos a=\left(\dfrac12\right)\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)+\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)+\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)-\left(\dfrac12\right)\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\\\\\\2\cos a=\left(\dfrac{\sqrt2}{2} \right )\left(\sqrt3 \right )\\\\\\\cos a=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$

Answer 2

Boa noite,

Como cos (a) faz parte de uma P.A  e está entre cos 15º e cos 75º , então

cos (a) = (cos 75º + cos 15º ) / 2

[ Exemplo : se tiver três elementos de uma P.A de razão 2 , e se eles forem :   ( 3  ;  5   ; 7 )  o elemento do meio , 5  = ( 3 + 7 ) / 2 ]

cos (a) = (cos 75º + cos 15º ) / 2

mas

cos (a) + cos (b)  =  2 * cos ( ( a + b ) / 2 ) * cos ( ( a - b ) / 2 ) 

então 

(cos 75º + cos 15º ) / 2 =

( 2 * cos ( ( 75º + 15º ) / 2 ) * cos ( ( 75º - 15º ) / 2 ) / 2

o fator 2 cancela o do numerador  com o do denominador.

=  cos ( 45º ) * cos ( 30º) 

=  (√2 ) /2  * ( √3 ) /2

=  ( √6 ) / 4

Resposta : o valor de cos ( a )   é    ( √6 ) / 4
 
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sinal ( * ) é de multiplicação
sinal ( / ) é de divisão
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Espero ter ajudado.Procuro  explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.Sei que ganho menos pontos, mas pretendo ensinar devidamente o que sei.
Esforçando-me por entregar a  Melhor  Resposta  possível.
Qualquer dúvida, envie-me mensagem ou comentário.Bom estudo