Question

Mackenzie Se a soma de duas raizes de p(x)=X3 - 6X2 + 11X + K é 3, então o número real K é igual a: ?

Answer 1

Seja o polinômio:

P(x)=x³-6x²+11x+k

As raízes de P(x) são os valores de x que satisfazem:

x³-6x²+11x+k=0

Suponha que a,b são raízes de P(x).Logo:

I.a³-6a²+11a+k=0 ⇒ a³-6a²+11a= -k
II.b³-6b²+11b +k=0 ⇒ b³-6b²+11b = -k

Como -k=-k,temos que:

a³-6a²+11a =  b³-6b²+11b

a³-b³-6a²+6b²+11a-11b =0 ⇒ (a-b)(a²+ab+b²) -6(a+b)(a-b) + 11(a-b) = 0

Assim:

(a-b) [(a²+ab+b²) -6(a+b) + 11] = 0

Foi dado que a+b=3 ⇒ a=3-b.Assim:

(3-b-b) [(3-b)² +(3-b)*b + b² -6*3 + 11] = 0

(3-2b) * [9-6b+b²+3b-b²+b²-7]=0

(3-2b) (b²-3b+2)=0

Isso implica que:

3-2b=0 => b=3/2

Ou

b²-3b+2=0

Δ=9-8=1

Sejam as raízes b' e b":

b'=(3+1)/2=2
b"=(3-1)/2=1

Logo,b=3/2 ou b=2 ou b=1.Vamos descobrir os valores de a:

a=3-b => a'=3-(3/2)=(6-3)/2=3/2
a=3-b => a"=3-2=1
a=3-b => a'''=3-1=2

Portanto,se a+b=3,concluímos que:

a=1 e b=2 ou a=2 e b=1 ou a=b=3/2

Descobertas as raízes,agora basta substituir x pelo valor de uma raiz para achar quanto vale K.Deste modo,vamos substituir x por 1:

1³-6*1²+11*1 + K=0 => 1-6+11+K=0 => K= -6 <---- esta é a resposta

Note que ao substituir x por 2 ou por 3/2 também concluiríamos que K=-6.Vale ressaltar que para x=3/2,K= -6,375 ≈ -6.