Question

(Mackenzie) Na função f dada por:

f(0) = 1

f(n + 1) = [(4f(n) + 1)/4], onde n é um número natural,
f(44) vale:

a) 43/4
b) 13
c) 45/4
d) 12
e) 15

Answer 1

Isolando as partes com letras, temos:

$f(n+1)=\frac{4f(n)+1}{4}$

$4f(n+1)=4f(n)+1$

$4f(n+1)-4f(n)=1$

$4(f(n+1)-f(n))=1$

$f(n+1)-f(n)=\frac{1}{4}$

Substituindo 0 em n:

$f(1)-f(0)=\frac{1}{4}$

$f(1)-1=\frac{1}{4}$

$f(1)=\frac{1}{4}+1$

$f(1)=\frac{5}{4}$

Substituindo 1 em n:

$f(2)-f(1)=\frac{1}{4}$

$f(2)-\frac{5}{4}=\frac{1}{4}$

$f(2)=\frac{1}{4}+\frac{5}{4}$

$f(2)=\frac{6}{4}$

Note que $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$... formam uma PA.

Vamos descobrir a razão dessa PA, utilizando a fórmula do termo geral:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$

$a_{2}=a_{1}+r$

$f(2) = f(1) + r$

$f(2)-f(1)=r = \frac{1}{4}$

Se considerarmos f(1) como o 1º termo, f(44) é o 44º termo. Vamos utilizar, novamente, a fórmula do termo geral da PA:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$

$a_{44}=\frac{5}{4} +43.\frac{1}{4}$

$a_{44}=\frac{5}{4} +\frac{43}{4}$

$a_{44}=\frac{48}{4}$

$a_{44}=12$

A resposta correta, portanto, é a alternativa D.