Question

(Mackenzie –adaptada) – Na figura, um octógono regular e um quadrado estão inscritos na circunferência de raio r =√2 centímetros. A área da região sombreada, em centímetros quadrados, é: (dado: √2 =1,4 )

Answer 1

resposta:

1,6

explicação passos a passo:

kauan6001

Answer 2

A área da região sombreada é 1,6 cm².

Polígonos inscritos na circunferência

Afirma-se que um polígono está inscrito a uma circunferência quando todos os vértices dele estão sobre a circunferência.

No caso desta questão, verifique que o diâmetro da circunferência é igual à medida da diagonal (d) do quadrado. Deste modo, tem-se:

$d = 2 \cdot \sqrt{2}$

Sendo $l$ a medida do lado do quadrado, aplicando o Teorema de Pitágoras:

$l^2 + l^2 = d^2\\\\2l^2 = (2 \cdot \sqrt{2})^2\\\\2l^2 = 4 \cdot 2\\\\2l^2 = 8\\\\l^2 =4\\\\l = \sqrt{4}\\\\l=2$

Observe que a área sombreada é formada por quatro triângulos. Em cada um, a medida da base é igual ao lado do quadrado.

Veja que a a distância do centro do quadrado, até o ponto médio do lado, corresponde à metade da medida do lado. Assim, o valor $h$ da altura do triângulo é a diferença entre o raio da circunferência e a distância entre o centro e o ponto médio do lado do quadrado. Logo:

$h = \sqrt{2} - 1$

Agora que já se sabe a medida da base, e da altura, podemos calcular a área desses triângulos:

$A = \frac{b \cdot h}{2} \\\\A = \frac{2 \cdot (\sqrt{2} -1) }{2} \\\\A = \sqrt{2} -1\\\\A = 1,4 \cdo - 1\\\\A = 0,4 \; cm^2$

Como são quatro triângulos:

$0,4 \cdot 4 = 1,6 \; cm^2$

Portanto, a área sombreada é 1,6 cm².

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