Question

(Mackenzie 96) Um polinômio P(x), de coeficientes reais e menor grau possível, admite as raízes 1 e i. Se P(0)=-1, então P(-1) vale
a) -4
b) 4
c) -2
d) 2
e) -1

Answer 1

 De acordo com o enunciado, temos duas raízes; no entanto, sabemos que se uma das raízes é complexa, então, a equação admitirá outra raiz complexa (conjugada). Logo, a equação terá grau 3, uma vez que o grau é o menor possível.
 Temos que P(x) é da forma: $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.

  Fazendo $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$, temos:

$P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\\\\P(x)=a(x-1)(x-i)(x+i)\\\\P(x)=a(x-1)(x^2-i^2)\\\\P(x)=a(x-1)(x^2+1)\\\\P(x)=a(x^3-x^2+x-1)\\\\P(0)=a(0-0+0-1)\\\\-1=-a\\\\\boxed{a=1}$


 Por fim,

$P(x)=a(x^3-x^2+x-1)\\\\P(x)=x^3-x^2+x-1\\\\P(-1)=(-1)^3-(-1)^2+(-1)-1\\\\P(-1)=-1-1-1-1\\\\\boxed{\boxed{P(-1)=-4}}$

  Daí, alternativa a.