Question

(Mackenzie 2001) Numa progressão aritmética de 100 termos, a
2
=10 e a
99
=90. A soma de
todos os termos é:

Answer 1

Vamos primeiramente encontrar a razão da progressão e o primeiro termo.

O termo geral da P.A. é:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Onde:

$a_n$ é o termo número n da progressão;

$a_1$ é o primeiro termo;

$n$ é o número do termo e;

$r$ é a razão.

Se o termo $a_2 = 10$, então:

$a_2 = a_1 + (2 - 1) \cdot r$

$10 = a_1 + r$

Vamos isolar $a_1$ em função de r:

$a_1 = 10 - r$

Ok. Se o termo de número 99 é 90, então:

$a_{99} = a_1 + (99-1) \cdot r$

$90 = a_1 + 98 \cdot r$

Substituindo $a_1$ pela expressão obtida em função da razão:

$90 = 10 - r + 98 \cdot r$

$90 - 10 = 97 \cdot r$

$80 = 97 \cdot r$

$r = \dfrac{80}{97}$

Por conseguinte, o primeiro termo será:

$a_1 = 10 - r$

$a_1 = 10 - \dfrac{80}{97}$

$a_1 = \dfrac{970}{97} - \dfrac{80}{97}$

$a_1 = \dfrac{890}{97}$

Ou seja, a progressão pode ser escrita da seguinte maneira:

$a_n = \dfrac{890}{97} + (n - 1) \cdot \dfrac{80}{97}$

Agora, a soma dos termos de uma progressão aritmética pode ser calculada por:

$S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Nesse caso, $a_n$ é o último termo da soma, ou seja, $a_{100}$, que podemos calcular:

$a_{100} = \dfrac{890}{97} + (100 - 1) \cdot \dfrac{80}{97}$

$a_{100} = \dfrac{890}{97} + 99 \cdot \dfrac{80}{97}$

$a_{100} = \dfrac{890}{97} + \dfrac{7920}{97}$

$a_{100} = \dfrac{8810}{97}$

Agora, basta calcular a soma:

$S_{100} = \dfrac{(a_1 + a_{100}) \cdot 100}{2}$

$S_{100} = \dfrac{\left(\dfrac{890}{97} + \dfrac{8810}{97}\right) \cdot 100}{2}$

$S_{100} = \dfrac{\left(\dfrac{9700}{97}\right) \cdot 100}{2}$

$S_{100} = \dfrac{\left(100\right) \cdot 100}{2}$

$S_{100} = \dfrac{10000}{2}$

$\boxed{S_{100} = 5000}$