Question

(Mack-SP) O lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência mede
$2 \sqrt{3} cm$
o raio da circunferência mede:

a)2 raiz de 3
b)4
c)3 raiz de 3
d)raiz de 3
e)2

Answer 1

Olá.

Para responder essa questão, devemos saber quanto vale o lado em função de do raio. Para isso, demonstro um método de demonstrar que $\mathsf{l\div\sqrt3=r}$.

Primeiro, pense em um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência - como a imagem que adicionei em anexo. Criando um triângulo entre o centro da circunferência a base, tem-se um isósceles com ângulos de 120° (é o resultado de 360°/3, pois o ponto central divide uma circunferência em 3), 30° e 30° (as bases do triângulo). Isso já basta, pois podemos dividir o triângulo isósceles em dois triângulos, com bases iguais a metade do lado do triângulo equilátero $\mathsf{\left(\dfrac{l}{2}~ou~\sqrt3\right)}$.

O raio pode ser medido através de um traço entre o centro e a borda, como acontece nas hipotenusas dos nossos triângulos retângulos. A partir do cosseno de 30° $\mathsf{\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)}$, teremos o valor que desejamos. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{cos~30^{\circ}=\dfrac{cateto~adjacente}{hipotenusa}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\left(\dfrac{l}{2}\right)}{r}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2l}{2}=r\cdot\sqrt3}\\\\ \mathsf{l=r\cdot\sqrt3\therefore r=l\div\sqrt3}$

Aplicando no nosso caso, temos que a resposta correta está na alternativa E.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Bons estudos.