Question

(Mack-SP)Determine o limite da soma dos termos da progressao (3^-1,3^-2,3^-3...) Com faz é esse conta

Answer 1

$\displaystyle 3^{-1},3^{-2},3^{-3},.. \to \frac{1}{3},\frac{1}{3^2},\frac{1}{3^3},..$

Se trata de uma P.G onde :

$\displaystyle \text a_1 = \frac{1}{3} \ \text e \ \text q = \frac{1}{3}$

A questão pede a soma de todos os termo, que no caso são infinitos termos, logo é a soma dos infinitos termos de uma P.G que é dado por :

$\displaystyle \text S_{\infty} = \frac{\text a_1}{1-\text q}$

Substituindo os termos :

$\displaystyle \text S_{\infty} = \frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle 1-\frac{1}{3}}$

$\displaystyle \text S_{\infty} = \frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{2}{3}} \to \displaystyle \text S_{\infty} = \frac{1}{3}.\frac{3}{2}$

Portanto  :

$\huge\boxed{\displaystyle \text S_{\infty} = \frac{1}{2} \ }\checkmark$

Comentário : Só uma curiosidade ( vc não precisa saber disso)

Quando a questão fala do limite da soma é porque a soma dos infinitos termos é obtida através de limites, o limite da soma dos termos quando n tende ao infinito.

Soma dos termos de uma P.G :

$\displaystyle \text S_{\text n} = \frac{\text a_1.(1-\text q^{\text n}) }{1-\text q}$  

Fazendo o limite da soma quando n tende ao infinito :

$\displaystyle \lim_{\displaystyle \text n \to \infty} \frac{\text a_1.(1-\text q^{\text n}) }{1-\text q} \ \ \ , \boxed{\text{com } -1 <\text q < 1 }$

$\displaystyle \lim_{\displaystyle \text n \to \infty} \frac{\text a_1.(1-\text q^{\text n}) }{1-\text q} \to \frac{\text a_1.(1-\text q^{\infty}) }{1-\text q} \to \frac{\text a_1.(1-\text 0) }{1-\text q} \to \boxed{ \frac{\text a_1 }{1-\text q}}$

( se -1 < q < 1, logo q é uma fração. Ao elevar o denominador vai tender ao infinito e assim a  fração q tende a 0)